276 Lorenz Zmurko. 



Ist jedoch in einem Intervall der Index b,. = 1 in dieser Eigenschaft an b„ der nächste, und die Index- 

 gruppe br+,=0, b, = 1, br-i=2 bereits constatirt, so untersuche man mit Hilfe 31) und eventuell mittelst 

 SB) die Natur des durch b,_, = 2 angedeuteten Wurzelpaares. Ist dieses Wurzelpaar ein complexes, so ist 

 die mittelst b^ == 1 angedeutete Wurzel in Z^^O der indicatorische Werth eines complexen Wurzelpaares in 

 Zij= 0; — sind die durch b;._, = 2 angedeuteten Wurzeln einander gleich, so sehe man nach, ob für diesen 

 Werth von x nicht etwa auch die übrigen ^-Functionen Z^_^, ^r-^,- ■ Z^, Z, , Z^^ gleichzeitig verschwin- 

 den , um, wenn dies wirklich eintrifft , zu schliessen , dass dieser a;-Werth der Gleichung Zg = als eine 

 (/■-f l)mal wiederholte Wurzel augehört; bringt jedoch dieser a;- Werth nicht die sämmtlichen Glieder Z,._^ 

 Z,._3...Zj, Z^, Zq gleichzeitig, sondern blos partienweise zum Verschwinden, so wird man nach «') /3') 7')°') 

 ermitteln , wie viel Wurzeln der Gleichung Zq = durch diesen a--Werth indicirt werden ; sind endlich die 

 durch br-, angedeuteten zwei Wurzeln primär und verschieden, so zerlege man das vorliegende Intervall in 

 zwei Partialintervalle , deren jedes b^-, = 1 liefert und nach dem Vorhergehenden der weiteren Behandlung 

 zu unterziehen ist. 



Hat man in einem Intervall auf Grund der Indexgruppe (b^-f-, ==0, b, = 1 , br-, = 2) bereits entschieden, 

 dass innerhalb desselben die der Gleichung Z^ = angehörige Wurzel als indicatorischer x-Werth eines 

 complexen Wurzelpaares sowohl in Z,_, = 0, als auch in den Gleichungen Zr^^ = Z^^^ = . . . = Z^ = Z^j = ü 

 zu gelten hat, so ist es gewiss, dass der dieser Indication entsprechende Antheil von je zwei Einheiten 

 in einem jeden der Indices br— j? br-3 • • • !>i) &o enthalten sein nuiss. Nimmt mau diesen Antheil von je 

 zwei Einheiten von jedem der Indices b,—, , i'r-i, ^r-s> ^r-, . . . bj, b, , b„ weg, so erhält man die neue 

 Indexreihe : 



0, bV_jj, b'._3, . . . b'j, b'j, b'o 



welche nach den el)en gegebenen Regeln behandelt, zur Entdeckung der übrigen indicatorischen jj-Werthe, 

 so wie zur Trennung der etwaigen primären Wurzeln zu dienen hat. 



Hat man überhaupt im Intervall (aß) mittelst b^-i-, =0, br = l, br_, =2, . . , b^_(2 3_i)= 2.s entschie- 

 den, dass die in diesem Intervall eingeschlossene Wurzel der Gleichung Zr = in den Gleichungen 



Zr— (2 3—)) = ■'^r— 2 « = Zr— 2 3—1 = ^^ ^i ""= -^1 ^ ^0 



je ein System von « complexen Wurzelpaaren andeutet, so ist es gewiss, dass der Autheil von je 2s Ein- 

 heiten in einem jeden der Indices 



J)r— 2j-fl) t'r— 23, br— 2<— 1) • • • i'ji , &! ) i^o 



enthalten sein muss. Nach Wegnahme dieses Antheils von einem jeden dieser Indices erhält man die Index- 

 reihe 



0, bV_23, bV-2,-(, . • • b'j, b', , b'o 



welche in bekannter Weise verwendet, zur Ermittlung der übrigen im Intervall (a ß) behndlichen indicatori- 

 schen x-Werthe und auch der primären, der Gleichung Z^ = angehörigeu Wurzeln dienen wird. 



Beispiele über die Trennung der Gleichungswurzeln findet man in dem Werke von Fourier: „Analyse 

 des equations", und ausserdem in der encyclopädischen Darstellung der Theorie der Gleichungen von 

 Schnuse. Braunschweig 1850. 



