286 Lorenz Zmurko. 



so erhält man schliesslich aus (11) die Gleichungen : 



(^•"T 



welche nach Elimination von y zur Gleichung (7) führen müssen. 



Es werden somit die den Gleichungen (13) genügenden .-r-Werthe auch der Gleichung (7) genügen, und 

 demgemäss die der Gleichung (7) angehörigeu Wurzelwerthe selbst darstellen. 



Wegen (9) gehören zu primären Werthen von x positive Werthe von y, und ein solches Werthepaar von 

 X und y kann auf ein orthogonales Axensystem bezogen zur Bestimmung der Lage eines Punktes dienen. 

 Findet man in (12) die Werthe von ?•* und ?>«* positiv, so wird in (13) in Bezug auf ein orthogonales Axen- 

 system durch die erste Gleichung eine Kreislinie, durch die zweite hingegen eine Ellipse charakterisirt. Die 

 gemeinschaftlichen Punkte dieser zwei Linien werden demgemäss positive y-Coordinaten besitzen , und kön- 

 nen als primäre Wurzelpunkte der Gleichung (7) angesehen werden, weil die ihnen zugehörigen primären 

 ip- Werthe die Gleichungen (L3), und somit auch die Gleichung (7) gleichzeitig erfüllen. 



Findet man aber einen der Werthe ;•* oder m", oder beide zugleich negativ, so ist dies ein Zeichen, dass 

 der Gleichung (7) keine primäre «-Wurzel zukommen kann. Dieses kann jedoch auch bei positiven >•* und m* 

 zum Vorschein kommen , namentlich in dem Falle , wenn die in (13) dargestellten Linien — Kreis und 

 Ellipse — einander nicht begegnen. 



Diese hier flüchtig besprochene Darstellung dürfte genügende Anhaltspunkte gewähren, um hieraus die 

 entscheidenden Kriterien über die Natur der Wurzeln abzuleiten. Das hier einschlägige Rechnungsproblem 

 dem Leser überlassend, schreiten wir unmittelbar zur constructiven Darstellung der Gleichungen (13), und 

 im Gefolge dessen zur Darstellung der der Gleichung (7) angehörigen Wurzeln. 



Die Gleichung (8) braucht nicht erst besonders abgehandelt zu werden, denn sie ergibt sich als ein spe- 

 cieller Fall der Gleichung (7), sobald man die in (12) und (13) angedeuteten Constructionen für d=0 effec- 

 tuirt. Auf diese Weise wird eigentlich die Auflösung der Gleichung 



(14) a.z*+i.i'*4-caT= 



eingeleitet. Man sieht jedoch auf den ersten Blick, dass mit Ausnahme der Wurzel .r = alle übrigen drei 

 Wurzeln dieser Gleichung auch der Gleichung (i) angehören müssen. 



Für die Gleichung x-* — 9a;* + 4x+ 12 = 



(If)) findet man nach (12) : /• = 4-12...; w = 5-59 . . . . 



a = — 2, ß = 5, «'=-!, ß'=6-5 



Für die Gleichung .r* — 6a;* + 8a- - 3 = 



(16) findet man nach (12) : /■ = 5"59...; m = 5.65 . . . . 



Für die Gleichung 

 (17) findet man nach (12) : 



i 



In den hier gewählten Beispielen haben wir die in (12) angedeuteten Elemente durch Kechnung 

 bestimmt. Es liegt jedoch nichts im Wege, diese Elemente durch reine Construction zu ermitteln. 



