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L>>renz Zinurkn. 



Es bilde das Lineal bei irgend einer dieser Stellungen mit 0.r den Winkel ^, und es seien x=OP, 

 y=Pe die Coordinaten der diesmaligen Lage der Marke e, so erhält man : 



(Je J'e . , ■'■ y ■ 



-1— = fos V , — = sin f , oder ^ cos 'j, , ~^ = sino; , 

 en e a Ul !P 



somit für ein beliebiges 



(23) 



9{2 ^ sgü 



(25) 



Hieraus siebt man ein, dass jeder Punkt des Lineals VM den Umfang einer Ellipse beschreiben muss, 

 sobald zwei Punkte desselben — etwa a und n — während der Bewegung gezwungen werden, der erste in 

 (24) Ox, der zweite in Oy zu verbleiben. Es lässt sieh sehr leicht zeigen, dass bei einer so gestalteten Bewe- 

 gung ein jeder Punkt der Ebene , in welcher das Lineal liegt , eine Ellipse beschreiben muss. 



Es ist auf diese Weise sehr leicht , mittelst 

 eines entsprechend markirten Lineals die Begeg- 

 nnngspunkte «, j3, 7, d zu bestimmen, in wel- 

 chen eine bereits ausgezogene Linie RST von der 

 Ellipse geschnitten wird '). 



Fasst man das Durchschneiden mit einem 

 elliptischen Linienzuge in dieser Weise auf, so 

 kann man mit Hinblick auf die Constructionen (ad 

 L5) und (ad 16) allgemein behaupten, dass man 

 eine jede höchstens dem vierten Grade angehörige 

 Gleichung mit Hilfe eines markirten Lineals und 

 eines Zirkels in directer Weise zu lösen vermag. 



Aus der Figur in (23) ersieht man eine voll- 

 ständige directe Constructionsmethode der Auszie- 

 {2Q) hung von Kubikwurzeln. Hieher gehört auch die schon seit uralten Zeiten vergebens gesuchte Lösung des 

 Problems über die Verdop])elung des Würfels. 



Die in (25) ausgesprochene Behauptung ist bloss in Bezug auf die Bestimmung der primären (reellen) 

 Wurzeln der erwähnten Gleichungen gerechtfertigt. Die Mathematik hat Formeln construirt, mittelst welchen 

 man auch die complexen Wurzeln einer kubischen Gleichung, und mit Hilfe der Auflösung der kubischen 

 Gleichung- auch die Wurzeln der biquadratischen Gleichung numerisch berechnen kann. Eine kleine Über- 

 legung belehrt uns , dass die in diesen P^ormeln zu eftectuirenden Operationen auch constructiv vor sich 

 gehen können , sobald man einmal die Operation der constructiven Darstellung von Kubikwurzeln und die 

 der Dreitheilung eines Winkels in directer Weise zu leisten vermag. Die erstere ist bereits in der Figur (22) 

 erledigt; mit der Darstellung der Trisection wollen wir uns alsbald beschäftigen. 

 Es sei 



sei ferner 



(27) 



. 9 \ S 



sm ij; = 3 sin ^ — 4 sin -^ = — 



sin 



cos 



^ = cos|-ri-(2sin-|)^]: 



k 



9 



Diese und mehre iinderc Constructionen der Kegelschnitte bei gegebener Grösse und Richtung der conjunirten Hiilb- 

 axen, und überhaupt über die Verwendung mobiler, mit Marken versehener Linienzüge finden sich im iL Bande meines 

 Werkes betitelt: „Wykhid Matematyki na podstawie ilosci o dowolnych kierunkach. Lwöw 1864." = Mathematische 

 Vorträge, gegründet auf die Anschauung der Grössen mit beliebigen Riehtungeu im Räume. Lemberg 1864. Zwei Bände 



