Studien im Gebiete numerischer Gleichungen. 



289 



so erhält man 



' — 3jr-|-s = und cos ^ = cos -^(1 — x^) = 



(28) 



Einem gegebenen Winkel entspricht ein bestimmtes s und k, welche man sehr leicht constructiv bestim- 

 men kann. Nach (18) findet man aus (28) etwa die Wurzeln x^, x^, x^, welche wegen — < ^ immer 

 reell ausfallen. Die Hälfte einer jeden dieser drei Wurzeln stellt den Sinus des zu bestimmenden Win- 

 kels ^ vor. 



Zu einer Wurzel etwa x^ findet man durch Construction etwa den Winkel '^^ und gleichzeitig den Win- 

 kel ■^\ = n — •\)^. Diese zwei Winkel haben entgegengesetzt bezeichnete Cosinuse — und es kann diesfällig 

 wegen (18) bloss eine der Relationen 



cosr|-,(l_.rV = |-' cosf,(l-^^) = |- (29) 



in Erfüllung gehen, und somit nur einer von diesen Winkeln als der dem gestellten Probleme genügende an^ 

 gesehen werden. 



Sind nun ^^, ^^, ^^ die Winkel, welche den Relationen (28) gleichzeitig genügen, so wird von den Win- 

 keln 3tp,, ,3ip2, 3i/<3, f jeder denselben Sinus und Cosinus besitzen, und es können demgemäss diese Winkel 

 sich bloss um ganze Vollwinkel von einander unterscheiden. Folglich kann das aus (28) hervorgehende Win- 

 kelsystem durch das System 



1. 

 3 



f 360 

 3 ■•" 3 



(f> , 2.360 j 

 !_ + ___ oder 



(30) 



T' T + 120°, 1+240° 



ersetzt werden. Die constructive Angabe des ersten von diesen Winkeln bildet eben die Lösung des Pro- 

 blems von der sogenannten Dreitheilung des Winkels (Trisectio anguli). Eine zweite bedeutend einfachere 

 Lösung dieses Problems geben wir im Folgenden. 



Zum Behufe der Angabe 

 des dritten Theiles des vor- 

 gelegten Winkels f = x N 

 nehme man ein mit äquidistan- (31) 

 ten Marken A, m, B versehenes 

 Lineal VS — schneide auf 

 dem zweiten Schenkel N 

 OE = mB = mA ab, und be- 

 stimme den Punkt E ; sodann 

 errichte man auf Ox die Senk- 

 rechte Oy und bewege das Li- 

 neal VS dergestalt , dass die 

 Marke A in Ox, die Marke B 

 in Oy einspielt, bis man in die- 

 jenige Stellung gelangt, wo das 

 Lineal gleichzeitig durch E hindurchgeht. Hiedurch erhält man auf Ox den Punkt A, und die Gerade A E; 

 dann ist der Winkel xAE=^^ der dritte Theil von <p. 



Denkschriften der mathem.-natarw. Gl. XXX. Bd. Abhandl. von Nichtmitgliedern. miU 



