Studien im Gebiete numerischer Gleichtmgen. 291 



Aus den vorstehenden Relationen y eliminirend, hat man : 



a; = ?■ arc (cos = ^) — K«* — {r — yf . (5) 



Dies ist die analytische Gleichung des vollständigen Cykloidalzuges, und zwar eines verkürzten, gemei- 

 nen oder verlängerten , je nachdem a kleiner, gleich oder grösser vorausgesetzt wird, als der Wälzungs- 

 radius r. 



Aus (4) findet man : 



dii « sin 9 ^ n' P ^ ^ ., ■,. 



-/ = ^- = tang(j= ^— = tang<i:w'^'jP, (Q) 



dx r — aCOSö PA n -,L , yuj 



wo (7 den Winkel darstellt, welchen die Berührende an den der Bogenzahl f entsprechenden Punkt (a-, y) mit 

 der a;-Axe einschliesst. Dieser Winkel ist derjenige, welchen die Verbindungslinie des Cykloidalpunktes A' 

 mit dem entsprechenden Wälzungsberührungspunkte n' mit der Axe my einschliesst. Demgemäss \st A' n' 

 die zu A' gehörige Normallinie. 



Bezeichnet man die zu f gehörigen Coordinaten mit x^, y^, so kann man ans (4) folgende Relationen 

 ableiten : 



Für 



2/if+2«K = y , x^+2„^ = x^ -f np (7) 



y-t^Vf^ a;_^-j-a;j,, = 0. (9) 



Ein Segment der Axe mx von der Länge jj entspricht einer vollen Wälzung der rollenden Kreisscheibe 

 und wird eine volle Strecke genannt. Ein Segment der unendlichen Cykloidallinie, welches einer vollen 

 Strecke, wie etwa in (1) der Strecke mv entspricht, heisst eine einfache Cykloide. (10) 



Wegen (7) ist der unendliche Cykloidalzug aus unendlich vielen aneinander gefügten einfachen Cykloi- 

 den zusammengesetzt, weil die der ersten vollen Wälzung entsprechende Aufeinanderfolge der y-Coordinaten 

 sich bei jeder anderen vollen Wälzung in derselben Weise wiederholt. Vom Anfangspunkte m aus bezeich- nj-) 

 nen wir die anfängliche volle Strecke mit p^, und die weiter nach rechts folgenden vollen Strecken mit p^, 

 p^..., eben so mit ^_j, p_j. . ., die weiter nach links folgenden vollen Strecken. Die etwa über ^^^ sich 

 wölbende einfache Cykloide soll mit 0,^ , und jede die mte volle Strecke schneidende Verticale mit !'„ 

 bezeichnet werden. 



Wegen (8) sind die vom Anfang und Ende einer einfachen Cykloide gleichweit abstehenden Punkte 

 gleich hoch , und demgemäss ist der in der Mitte einer einfachen Cykloide stehende Punkt ein singulärer 

 Punkt, und zwar wegen (4) in Bezug auf y ein höchster Punkt (Maximalpunkt). (12) 



Wegen (9) stehen die gleichweit von der y-Axe abstehenden Punkte gleich hoch , und demgemäss ist 



der Zusammeustossungspunkt zweier einfachen Cykloiden ein singulärer, und namentlich ein Minimalpunkt 



tiefster Punkt. (1.3) 



Wegen (6) entspricht im Allgemeinen einem jeden Maximal- oder Minimalpunkte eine horizontale Berüh- 

 rende. Nur im Minimalpunkte der gemeinen Cykloide ist die Berührende vertical. (14) 



Wenn man die Erzeugung der Cykloidallinie in (1) aufmerksam prüft , so könnte man in der That die 

 Länge a= 0A= 0'A'= 0"b' . . .wie einen beschreibenden Cykloidalradius ansehen, während man sich das 

 Centrum in die Lagen 0' , 0"...in Og in der Weise fortschreitend denken muss , dass jedesmal die 

 Fortschrittsgrösse des Centrums derjenigen mit dem Wälzungsradius multiplicirten Bogenzahl gleich- 

 komme , welche der Richtungsdifferenz der ins Auge gefassten Grenzlagen des Cykloidalradius entspricht. ' 

 So findet man in (1) zwischen den Radien O'A' und 0"b' die Bogenzahl ^—'f, daher der Abstand von 

 0' bis 0" = r (il»— (p). • 



mm* 



