INDEPENDENTE BILDUNGSGESETZ DER KETTENBRÜCHE 
P 
v 
Ds. SIEGMUND GÜNTHER, 
DOCENT AN DER POLYTECHNISCHEN SCHULE IN MÜNCHEN. 
VORGELEGT IN DER SITZUNG DER MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHEN CLASSE AM 14. OCTOBER 1875. 
Nahezu unzählbar ist die Menge der Versuche, welche man angestellt hat, um das independente Bildungs- 
gesetz der Näherungswerthe eines Kettenbruches allgemein zu eruiren, allein noch scheint es zur Zeit nicht 
gelungen zu sein, dieses Ziel endgiltig zu erreichen. Fassen wir diese Versuche sämmtlich zusammen, so 
können wir drei wesentlich verschiedene Kategorien unterscheiden, unter welche sich dieselben subsumiren 
lassen. 
I. Ältere Mathematiker, unter ihnen besonders Euler und Hindenburg, hielten die analytischen 
Formen, über welche die Wissenschaft ihrer Zeit disponirte, nicht für ausreichend, um das Problem zu bewäl- 
tigen, und schufen sich zu diesem Zwecke neue Symbole. So entstanden Euler’s Kettenbruch-Algorithmen, 
so wandte die combinatorische Schule ihre neu eingeführten Involutionen mit besonderer Vorliebe auf die con- 
tinuirlichen Brüche an. Die Geschichte dieser Epoche haben wir bereits bei einer früheren Gelegenheit 1) aus- 
führlich verfolgt; sie lehrt uns, dass all diese Methoden, so geistreich sie waren! und so gefügig sie sich 
theilweise für die praktische Anwendung gestalteten, vom theoretischen Standpunkte aus doch nur als Noth- 
behelfe gelten konnten. Denn ehe man ihnen einen wirklich abschliessenden Charakter zuertheilen konnte, 
hätte doch nothwendigerweise erst bewiesen sein müssen, dass mit den gewöhnlichen Hilfsmitteln der Analy- 
sis in der That nicht auszureichen sei. Allein ein soleher Beweis ward nie zu leisten versucht, und so musste 
ı Das Wesen des Hindenburg’schen Verfahrens zu verdeutlichen, möge hier eine historisch höchst interessante 
Stelle eingeschaltet werden. Die unerschöpfliche Bibliothek des Fürsten Boncompagni in Rom enthält ein analytisches 
Manuscript, welches dem Ende des vergangenen Jahrhunderts entstammt, allen Anzeichen nach sogar dem Beginne der com- 
binatorisch-analytischen Bewegung. Es repräsentirt uns somit die Anschauungen Hindenburg’s in ungetrübter Reinheit. 
Die betreffende Stelle (S. 119 der Handschrift) lautet: 
„Forme 1 
ce + ete. 
Problem I. Datam fractionem continuam dietae formae reducere simplicem. 
y* 
