Das independente Bildungsgesetz der Kettenbrüche. 189 
sich darstellen lässt, oder was dasselbe besagt, dass die Entwickelung jedes trinomischen Systemes aut 
einen gewöhnlichen Kettenbruch führt. 
Eine gewisse Eleganz und Einfachheit wird man diesem Verfahren, wie wir es in kurzen Zügen hier 
vorführten, gewiss nicht absprechen können, aber durchsichtig ist dasselbe nicht. Die explieite Darstellung 
der Functionen P ist complieirt, und die eigentliche Gesetzmässigkeit in der Bildung der Ausdrücke nur 
schwer erkenntlich. 
III. Gewissermassen als Vervollkommnung der in Classe I charakterisirten Bemühungen erscheint die 
Zurückführung der Näherungswerthe auf das vollendetste combinatorische Symbol: auf die Determinante. Wir 
haben in der oben namhaft gemachten Schrift den Nachweis geführt, wie sich unter den Händen von Ramus, 
Spottiswoode und Heine allmälig eine consequente Transformationsmethode ausbildete, welche durch 
neuere Forschungen nunmehr eine solehe Ausbildung erhalten hat, dass jedes Einzelproblem der Kettenbruch- 
lehre in naturgemässester Weise durch eine Determinanten-Umformung erledigt werden kann. Allein trotz all 
dieser praktisch nieht hoch genug anzuschlagenden Vorzüge wird sich nicht leugnen lassen, dass für das 
eigentliche Bildungsgesetz der Näherungsbrüche die Determinanten ebenso wenig Aufschluss gewähren, als 
die Mancherlei anderen Formen, welche man zu diesem Zwecke in Vorschlag gebracht hat. 
Nachdem man aber wusste, dass der Nenner des Kettenbruches 
AN 
a Se n 
a ne 
der symmetralen Determinante 
a WEEN.0 0 | 
| Yb, a, — 0) 0) 
DRG: <a, 0e02 
an ee 
LER ÜTERUEERERTTIL ENT 2 
gleich sei, lag es nahe, auf diese letztere die bekannten Zerlegungssätze für solehe Determinanten zur An- 
wendung zu bringen. Dieser Gedanke findet sich in einer Abhandlung von Studnicka 4) durchgeführt; da 
jedoch daselbst die Diagonalelemente nieht sämmtlieh unter einander gleich sind, so konnte das Resultat 
keine so eoneise Form gewinnen, als zu wünschen gewesen wäre. Es wird daher nöthig sein, diese Gleich- 
heit vorher herbeizuführen, und wir erreichen dies vermittelst des bekannten Satzes, dass man je zwei Theil- 
nenner und den zwischenliegenden Theilzähler eines Kettenbruches mit einer willkürlichen Zahl (Z 0) multi- 
plieiren darf, ohne dessen Werth zu verändern. 
Mit Rücksicht hierauf ist 
32% Fa b, b; 
u p) = 
ao +4 b, a, 
a, — ni = —— 
Qt b b, 
nt ns 
2 A 
b; 
a Ber 
b, 
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1 Ganz ebenso führt, wie Fürstenau3) kürzlich dargethan hat, jedes System reeurrenter Gleichungen, in welchem all- 
gemein p Unbekannte linear verknüpft erscheinen, auf einen Kettenbruch der (p—2)ten Ordnung, wenn wir unter einem 
