Das independente Bildungsgesetz der Kettenbrüche. 191 
summirt. Die Diagonalen dieser Determinanten sind demnach sämmtlich durch Nullen gebildet; ist also gq 
ungerade, so verschwinden alle identisch, für jedes gerade g hat man dagegen Determinanten von der Form 
ee) a ee 0 0 0 
aa) 9 0° a 0 . 0) (0) 0) 0) 
0 Aa Or: 0) (0) 0) 0 | 
De 0. > 0 0 ee 
Au j=I e2g+ı) 
DE KT By 
0 (0) &2,_3) 0) —& (22,2) 0 3 
0 ) DR 0: Zi, ) 
RL NK ERIRRTE ER: Dec. sale 9 
Wir brauchen sonach nur diejenigen Fälle ins Auge zu fassen, in welchen g=2p ist. Um dann den Co&f- 
fieienten von 2” zu finden, ist Folgendes zu thun: 
Es sind aus den in der Determinante A auftretenden Grössen « sämmtliche Producte 
zu p Faetoren zu bilden, so dass, wenn die Indices in der Ordnung des Zahlensystemes 
fortschreiten, die Differenz zweier unmittelbar aufeinander folgender Indices 
=2 
ist; dieseProducte sind hierauf zu quadriren und zu addiren. 
Diese Aufgabe lösen wir sofort durch nachstehenden 
Lehrsatz. Der Co£ffieient der Potenz 
zm—2p 
in der Determinanten-Entwickelung hat den Werth 
k=m—p+1lr—=p-2 
2 2 2 2 
Op» Akr2 1 Rk+2-2- 0° Aor2-r M, 
rl — 
unter M die (p—r—1) fache Summe 
1 =m—pH2r +3 = m—2p-+2r+3+2 1 pr 3 = m—2p+2r+3+2 (p—r—4) 
dl 
3) =k+2r+3 9 —k+2r+3+2 1 sp —3—=k+2r+3+2 (p—r—4) 
Spr—2 =m—2p+2r+3+2 (Pp—r—3) t=m—1 
202 2 2 2 
Ns Rs Rs, ,_3 h Gr %r 
Sp—r—2—=k+2r+3+2 (p—r—3) t=sp—+-2-+2 
verstanden. 
Beweis. Zunächst ergibt sich aus unserer Formel, dass jedes Einzelproduct aus 
r+-1+p—-r—1l=p 
Factoren besteht, wie erfordert wird. Es kommt also nur noch darauf an darzuthun, dass die Grenzwerthe 
für jedes einzelne Summenzeichen durch eine riehtige Abzählung erhalten wurden. 
Verfahren wir bei Bildung der einzelnen Index-Complexionen in der gewöhnlichen Weise der Combina- 
tionslehre, so muss % zuerst den Werth 1 annehmen. Dass auch die obere Grenze stimmt, erhellt sofort, wenn 
man das letzte überhaupt denkbare Produet 
