202 F. Mertens. 
Es ist nun noch der Nachweis zu führen, dass man befugt ist, die Gleichungen 2) durch die Gleichun- 
gen 24) zu ersetzen, d. h. dass die Gleichungen 2) eine Folge der Gleichungen 1) und 24) sind, oder dass die 
gefundenen Kreise sich in der That und zwar, weil nach 32) die Halbmesser »,, ,, », dasselbe Zeichen haben, 
von aussen berühren. 
Bildet man aus den durch die Gleichungen 27), 29) gegebenen Werthen von x,, v,, %,, v, den Ausdruck 
VW), + (9-9) — (r+r,), 
so wird 
h—r,)* h—r,)* 1+A+B+6 
v-= Um 5 _— —2(A— r,)(k—r;) en — (r+r3)}, 
oder, weil nach 23) 
1 22 1 y? 
— —1-+ ug jo 
B* BE y? zit 
IDEEN 
4B”?y" By’ 
ist, einfacher 
a RE en eu 
Es ist ferner nach 23) 
und nach 28), 30), 31) 
ha «By (re) I-B9) 
By (+2)(1-ae) 
so dass 
Br y) _ ha (I+a)(By—a)— a B'y' 
® (k-n)+ y (kh—r,) = By ianFzlezr (1a) 
By: a(l+a—«‘) 
(I+a) (1a) 
, 2 i+a 
5 (a Lan] 2m — h 
und in der That also nach 32) 
a0) 
wird. Auf dieselbe Weise werden alle Gleichungen 2) bewiesen. 
Da die Ausdrücke A, B, & vier verschiedene Werthsysteme annehmen können, je nachdem man näm- 
lich festsetzt, dass im Innern des Dreiecks ABC entweder alle drei Funcetionen Z, M, N positive Werthe 
oder irgend zwei derselben positive, die dritte hingegen negative Werthe besitzen sollen (die übrigen vier 
möglichen Fälle geben nichts Neues), und da für jedes dieser vier Werthsysteme über die Vorzeichen der 
Quadratwurzeln @, ß, y (23) acht verschiedene Bestimmungen getroffen werden können, so lassen die 
Gleichungen 1), 2) 32 verschiedene Auflösungen zu. Jedem der vier Werthsysteme von X, B, € entspricht 
der Halbmesser A eines bestimmten der vier in das Dreieck A B C einbeschreibbaren Kreise. 
Es seien 
