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236 Lorenz Zmurko. 
wo $ eine Function von 2, 2, 29,..-%„ und einer beträchtlichen Anzahl von willkürlichen Constanten vor- 
stellt. 
Dieses Resultat, sowie die von Jacobi daran geknüpften Schlüsse findet man in gedrängter Kürze im 
17. Bande von Crelle’s Journal niedergelegt. Gewichtige Kräfte haben sich veranlasst, diese Theorie zum 
Gegenstande eigener Forschung zu machen, theils um die Jacobi’sche Theorie näher zu beleuchten, theils um 
hieraus neue Ausgangspunkte zur Erforschung allgemeinerer Probleme zu gewinnen. 
Die Begründung der Jacobi’schen Doppelttransformation, welche sogar in der von OÖ. Hesse gegebenen 
Form, auf einem äusserst verwickelten und wenig durchsichtigen Algorithmus beruht, veranlasste auch mich, 
Einiges zur Vereinfachung desselben beizutragen, und es gelang mir, diesen Algorithmus derart einzurichten, 
dass man in den Fällen »—1, 2,.3,... stufenweise fortschreitend, die entsprechenden Transformationsresul- 
tate beinahe ohne alle Reehnung hinschreiben kann. Später begründete ich auf Grundlage der wiederholten 
Summirung eine neue höchst einfache Transformation, welche die Doppelttransformation von Jacobi in vol- 
lem Maasse ersetzt. Diese und andere Untersuchungen über die Maxima und Minima bestimmter Integrale habe 
ich in den Memoiren der Krakauer Akademie der Wissenschaften unter dem Titel „Beitrag zur Variations- 
rechnung“, Band II, in polnischer Sprache publieirt. 
Beim Übergang zu allgemeineren Problemen, wo das vorgelegte Integral 
7 
r 
Kdx.dx,.n:.. dee, 
nebst den Bedingungsgleichungen 
=, —..—t, =, — 10) 
gegeben ist, in welchem die Symbole x, x”, V, » in der im $. I ersichtlichen Bedeutung zu nehmen sind, 
ergibt sich, unter Aufrechthaltung der im $. 1 eingeführten Bezeichnungen ©, W, z 
wu ne tl. y KR Nimm N dE IS 
n2 —älne “Ir n » Y Y = = 
26 =!o dx,de,_ı...dı | — nn: Zu, 
2 | h M N r 1 S 5, N d U Ri d Dar aih, mm: “m Ms 
als der in Bezug auf das Vorzeichen näher zu untersuehende Ausdruck. Nachdem ich mich überzeugte, dass 
ein dem Jacobi’schen analoger Transformationsvorgang zur Vereinfachung des Ausdruckes 6) nicht einge- 
leitet werden konnte, suchte ich in der seit Jacobi reichhaltig angewachsenen Literatur nach anderen zu 
diesem Zwecke geeigneteren Werkzeugen '. 
Den Arbeiten von A. Clebsch muss in dieser Beziehung unstreitig der oberste Rang zuerkannt werden. 
In seiner letzten Arbeit erhebt er sieh bis zur Betrachtung des Ausdruckes 6), und liefert analog dem Jacobi’- 
schen Resultate den Ausdruck 6) in folgender vereinfachten Form: 
x,’ X! il ' R 1 My N, d? DIE 
& > 
© = In dx, dx, ... dee, 5 e S Ss { NY 7 ee TER mn Ms Zu) ’ 
. ß Y m ms s Le (dE Me d [d m! m'a! 
zı' IX )x, 1 1 1 i 
welche aus 6) dadurch hervorgeht, dass man darin z in Z übergehen lässt, und dann alle diejenigen Glieder 
weglässt, welche nieht den Differentialquotienten höchsten Ranges (der unbekannten Functionen U) ihr Dasein 
verdanken. Die in der Anzahl #,—+7,+...—+7, vorhandenen mit Z bezeichneten Argumente sind überdies 
ı Jacobi, Crelle-Journal, 17. Band; Delaunay, Liouville’s Journal, 6. Band; 8. Spitzer, Sitzungsber. d. kais- 
Akad. d. Wissensch. 12: Band, p. 104, 14. Band, p. 41; O. Hesse, Crelle’s Journal, Band 54, p. 227; A.Clebsch, Crelle’s 
Journal, Band 55, p. 254 und 335; Minding, Crelle’s Journal, Band 55, p. 300; A. Clebsch, Crelle’s Journal, Band 56, 
p. 122; A. Mayer, Teubner, 1866; A. Mayer, Crelle’s Journal, Band 69, p. 238; Lipschitz, Crelle’s Journal, Band 65, 
P- 26. a 
Mein in dem Tagblatt der 48. Versammlung deutscher Naturforscher und Arzte skizzirter Vortrag „Über die Unzuläng- 
lichkeit der bis jetzt bekannt gewordenen Kriterien des Grössten und Kleinsten bestimmter In’egrale ete.“ wird mit dieser 
Abhandlung berichtigt und vervollständigt. 
