Theorie der relativen Maxima und Minima bestimmter Integrale. 33T 
gruppenweise durch sehr einfache durch alle Probleme hindurch sich gleich bleibende Differentialgleichungen 
unter einander verknüpft. 
Um zu zeigen, dass mit dem Resultate 7) die Theorie über die Kriterien des Maximums und Minimums 
nicht als abgeschlossen betrachtet werden kann, sei es uns gestattet, folgende Bemerkungen anzuführen: 
1. Die Anzahl der Argumente der von Clebsch gelieferten vereinfachten Form 7) it N=n, +, :.. 
+7, ein Betrag, der etwa für ==, = —=n,=n,—=n,=n,=6 in der Zahl Nr. 2772 sich stellt, 
während eigentlich blos u. dieser Argumente, im angezogenen Fall blos 6 Argumente willkürlich angenommen 
werden dürfen. Im allgemeinen Falle wäre demgemäss die Zahl u. die Grenze, welche man als Argumenten- 
anzahl der redueirten zweiten Variation anstreben soll. Diesem Bestreben. setzen sich aber in den Weg die 
eben erwähnten zwischen den N Argumenten bestehenden, für alla möglichen Probleme der Variationsrech- 
nung sich gleich bleibenden Beziehungen, denen man bei der anzustrebenden Reduction Rechnung tragen soll. 
Die Auflösung dieser Beziehungen gehört jedenfalls in die allgemeine Theorie — es sei denn, dass man die 
Unmöglichkeit der Beseitigung dieses Hindernisses mit einem Beweis erhärtet. 
2. In der redueirten, unter dem Integrationszeichen stehenden Summe in 7) spiegeln sich die zur Dar- 
stellung der Integrationsgrenzen dienenden Functionen x’, &” in keinerlei Weise ab; der Nachweis der even- 
tuellen Stabilität oder Nichtstabilität des Vorzeichens dieser Summe wird demgemäss diejenigen Kriterien 
ganz gewiss nicht liefern, welche erst nach Einsicht in die Eigenschaften der Integrationsgrenzen gewonnen 
werden können. 
3. Clebsch bietet keine Instruction, wie man sich zu benehmen habe, um während der Untersuchung 
des Vorzeichens einer Function stets in der vorgeschriebenen Veränderlichkeitssphäre verbleibend, schliess- 
lich versichert zu sein, dass man die gesetzliche Veränderlichkeitssphäre erschöpft hat; er gibt nicht die 
Grenzwerthe der Variablen an, innerhalb deren die in die Funetion zu substituirenden Werthe der Grund- 
variablen enthalten sein müssen. 
4. Die dureh den Caleül-Mechanismus erreichte Thatsache des Überganges von den ursprünglichen 
Argumenten z, 2, , 2,,...2, zur neuen mit Z, Z,, Z,,...Z, bezeichneten Argumentenschaar, welche der aus- 
gezeichneten Eigenschaft sich erfreut, dass die einzelnen Z-Argumente im Angesichte des vorgelegten Inte- 
grationswesens nur in den höchsten Dilferentialquotienten ihre Existenz beurkundend, sonst in allen Differen- 
tialquotienten tieferen Ranges verschwinden, wäre jedenfalls einer analytischen Discussion zu unterwerfen, 
um dann rückschliessend die mit obigen Eigenschaften ausgerüstete undifferenzirte Form der Z-Argumente 
zu ersinnen. 
Eine derartige Discussion und die hiedurch veranlasste Entdeckung der undifferenzirten Z-Argumente 
wäre in jeder Beziehung eine dankbare. Die Substitution solcher Z-Formen an der Stelle der ursprünglichen 
z-Argumente in den Ausdruck 6) würde im Angesichte des vorgelegten Integrationswesens vor Allem die von 
Clebsch angestrebte und erreichte Reduction ganz gewiss zur Folge haben, und im Weiteren entweder eine 
neue im Wesen der angestrebten Reduction zwar gegründete, dem Forscher jedoch im Vorhinein noch unbe- 
wusste Vereinfachung von ö6°& bewirken — oder in minder günstigem Falle ausser der von Clebsch be- 
wirkten keine weitere Vereinfachung bieten. Im ersteren Falle erreicht man .die Grenze jeder möglichen 
Vereinfachung von 0°?©&, im zweiten Falle wäre der oben erwähnte Unmöglichkeitsbeweis geliefert, der uns 
dann von jedem Streben nach weiterer Vereinfachung von 0?& dispensirt. 
Unter Anleitung der hier vorgebrachten Bemerkungen ist es mir möglich geworden, die nachstehende 
Theorie der relativen Maxima und Minima bestimmter Integrale zu verfassen, welche in ihrer Anlage und 
Durchführung sich dureh musterhafte Einfachheit auszeichnet, und der Erforschung specieller Fälle jeden 
theoretisch möglichen Vorschub bietet. 
