Theorie der relativen Maxima und Minima bestimmter Integrale. 239 
Grenzfunction etwa x, als eine Function blos derjenigen Grundvariablen zu gelten hat, welche mit kleinerem 
Zeiger als p behaftet sind. 
Diese Probleme lauten in der Hauptfassung folgendermassen : 
Man soll die unbekannten Funetionen T,, U,...T,, x, x’ so bestimmen, dass unter Be- 
rücksiehtigung der Bedingungsgleichungen 2) bestimmte »fache Integral $ sub 1), 12) 
wenn dies überhaupt möglichist, einen Maximal- oder Minimalwerth erreiche. 
Bezeichnet man die Variation von U, mit 
T ng 
Ö U, —— pZm ’ 
unter p eine sehr kleine beliebig bezeichnete von z,, &,, &,,...x, unabhängige Zahl verstanden, so er- 
hält man: 
Ö U, Mg ON Un)m, = (8 Um)m, — (p Zum, — p (Zum, Ten p Zi: Mg 
U, / U. pZ. U, Z, > 
0 Umm'a — P Zur m’, 5 0 0:3 3; 3,? 0 rs — 9 44,9 
» 
Seien A,, Ay, Ag,...A, einstweilen in Bezug auf ihre Funetionsform unveränderliche Fune- 
tionen von &,, &y,...x,; Sei ferner 
BAU HA HH. IND —E: Ani Umme::) 
+ 27 ve ak «(r) 14) 
© =, "| ar "WW dx, d,_ı... da, de, =) W dx, da,-ı...de,da |, 
so kann man nach dem Vorgange von Lagrange das in 12) definirte Problem folgendermassen aus- 
sprechen. 
Man soll die Unbekannten U,, O,,... U,, x, x’ so bestimmen, dass hiedurch das rfache Integral & 
zu einem Maximum oder Minimum nelde wobei schliesslich über die Functionen A, , A,,...%, So verfügt wer- 15) 
den soll, dass durch ihre Werthe den Bedingungen 2) genügt werde. 
Durch Entwicklung nach Taylor, mit 5* die Reihe abschliessend, findet man: 
p? 
re = $%(.- .. U, My +p Zum): — WW, P+B, 5 16) 
sobald man 
u Hm OR . 
PB= 8,82; Zum, | = 8 1) 
1 1 MMS 
Pr a eG s| Ale m |= it 1 
u I) DU... dd. Anm — 8) 
setzt. — Mit Hilfe des theilweisen Integrirens lässt sich jedes Integral 
DM 5 
| un; Fun, de.de,ı...deyde, 
als aus zwei Theilen zusammengesetzt darstellen, und zwar: 
DM > OR N 
| HE Zmm, dx, dx,_i. nd, de, -| IE (— 1). In div, de,_ı... da, de, + Timo). 19) 
Der erste dieser Theile wird aus dem vorgelegten Integral erhalten, indem man es mit (—1)d multi- 
plieirt, und die Differentiationszeigergruppe », vom Ausdrucke Zum, loslösend, dieselbe zu gleichem 
Zwecke dem Ausdrucke 
r) 
7 = links unterhalb anhängt. Der zweite mit 7,„.,, bezeichnete Theil besteht aus 
