Theorie der relativen Maxima und Minima bestimmter Integrale. 241 
Aus 25) und 26) ziehen wir in allgemeiner Bezeichnung die Werthe der (u+v) unbekannten Func- 
tionen: 
j£ ef n » . lin a [# 
— Em (23 %gy + Un d d,; 0) N lee 9, 0, 9) 
worin 6,, d,, d,,... auf eine dem Range der Differentialgleichungen 25), 26) entsprechende Anzahl von will- 
kürlichen Functionen hindeuten. n 
Die Erfüllung des Gleichungssystems (III) unter Beachtung der jeweilig in speeiellen Problemen sich 
darbietenden Orientirungsumstände verhilft uns schliesslich zur Auffindung und Feststellung der noch Unbe- 
kannten; 0,,.0,,...2, ©". 
Ohne uns in die nähere Speeialisirung der Umstände und Bedingungen, und in die Angabe der Art und 
Weise einzulassen, wie solche die endgiltige Bestimmung der Unbekannten U, U... U,, Ayy Ay. Ay, @, @” 
herbeiführen, nehmen wir an, dass es uns bereits gelungen sei, zu folgenden Resultaten: 
m m 
Un Jene co) RS (a5 ae), 
EN N n a An a 
m Im, Ey -» N) m YmlKys Ep *» Fr) 
“ 
für alle erforderlichen Werthe von m zu gelangen, so können wir behaupten, dass in dem den Lösungen 30), 
31) subsummirten Falle nur einzig für diese Werthe der Unbekannten, das Integral S und hiemit auch $ 
fähig sei, sich im Zustande des Maximums oder Minimums zu befinden. Ob dieser Zustand wirklich eintritt, 
und wenn dies geschieht, ob man ihn als Maximal- oder Minimalzustand anzusehen habe, darüber wird uns 
erst eine nähere Erörterung des Vorzeichens von 0°& auf Grundlage der durch die Gleichungen 26) einge- 
schränkten Willkürlichkeit der Functionen Z,, Z,, /, Z, einen sicheren Aufschluss gewähren. 
8. 2. 
Bevor wir den Ausdruck 0?& einer näheren Prüfung in Bezug auf sein Vorzeichen unterwerfen, fragen 
wir nach, was in dem bestimmten Integral 
’ 
z 
EH x. . 
A— | | - ) denen 1... Pl, 8,1, ...%,) 
’ 
x 
1 r 
mit dem zu integrirenden Ausdrucke für Veränderungen vor sich gehen, wenn man A als eine wiederholte 
Summirung der Differentialelemente ansieht. 
Die Integration in Bezug auf x, zwischen x; und x, wird vollführt, wenn man in F(x,, a) 
N 
substituirt, und dann in dem daraus hervorgehenden allgemeinen Ausdruck 
ER se) 
a, als eine zwischen Null und der Einheit variable Grösse ansieht. 
Bei der nächsten Summirung in Bezug auf &,_, wird 
m aA 
gesetzt, und es wird 
B— m — Bulamar 4,2 20.229,24) 
als die allgemeine Form der Faetoren der einzelnen Elemente auftreten, sobald man anstatt «,, z,_ı irgend 
welche zwei zwischen Null und der Einheit liegende Werthe sich vorstellt. 
Durch Verwendung der aufeinanderfolgenden Substitutionen 
’ ’ er 
HA, Wut Art, 2.0. 
‚ ‚ 
—=,+%A,, 4 =2,+2%,4, 
Denkschriften der mathem.-narurw. Cl. XXXVI. Bd. Abhandl. von Nichtmitgliedern. ur 
1) 
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3) 
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