Theorie der relativen Maxima und Minima bestimmter Integrale. 245 
In Beziehung auf die durch Verwendung des Oseulationseoöffieienten sieh erbietende Anzahl der unter 
den eingeführten Funetionen &, %,, %,,...%, in gewisser Beziehung willkürlich wählbaren Funetionen ist 
leicht zu bemerken, dass dieselbe um eine Einheit grösser sich gestaltet, als dies bei der Anlage des vor- 
gelegten Problems angemessen und durchaus erforderlich ist, dass es demgemäss unserem Ermessen anheim- 
gestellt verbleibt, zwischen den Grössen eine neue, versteht sich, eine die Zwecke der weiteren Discussion 
möglichst fördernde Relation zu stiften. Als eine solche für die spätere Untersuchung sehr nützliche Rela- 
tion erweist sich folgende: 
„Pt Url... Hlh)=0 ud :>0, 
be an 2 Ile: 2 2 A j 
sobald man #— S, (sr w),,,) ] setzt, und hiemit aussagt, dass die Functionen %,, %,...%, nicht gleich- 
1 
zeitig identisch verschwinden dürfen, und im vorgeschriebenen Intervalle stets endlich verbleiben müssen. 
Aus der in 27) bis 31) niedergelegten Auseinandersetzung geht zur Genüge hervor, dass die Verglei- 
chung der auf Grund 30), 31), $. 1 berechneten Gestalt S=S mit den in Folge Verwendung des Oscula- 
tionscötffieienten übrig gebliebenen nächsten Nachbargestalten zu entscheidenden Kriterien führen muss, 
ob die erwartete nach 30), 31), $. 1 ermittelte Gestalt S—=S sich im Zustande des Maximums oder Mini- 
mums — oder in gar keinem dieser Zustände befindet. 
Es ist somit unsere nächste Aufgabe, zu untersuchen, ob der in 21) niedergelegte Ausdruck 5? & unter 
Beachtung der Relationen 24) und 31) im Bereiche der gesetzlichen Willkürlichkeit der Funetionen s, %,, %,, 
...Y%, in Bezug auf sein Vorzeichen sich stabil erweise oder nicht; dann wird sich die erwartete Gestalt 
S—Ss 
bei stabil positivem Werthe von 0°& im Zustande des Minimums, 
BD negauıyem > n en n „ Maximums, 
befinden, und es wird S=S keinen dieser Zustände ergeben, wenn erweislich die Grösse 0?& positive 
und negative Werthe anzunehmen vermag. 
8. 3. 
Mit Bezug auf das Zutreffen der in 26), $. 2 angedeuteten Bedingungen, welche innerhalb des Integra- 
tionsintervalls die Stetigkeit und Endliehkeit der mit a, d,,„ bezeichneten Grössen bedingen, können 
wir diese Eigenschaften auch bei der Summe 
vo 
& M, == 3= Su S\, [a m, m! Un U] 
1 1 
gelten lassen, sobald wir e endlich voraussetzen und erwägen, dass diese Eigenschaft den Funetionen Y,, %,, 
Yy...%, in Folge der Relation 31), $. 2 ganz gewiss anhaften muss. 
Unter den Werthen von M,, welche der in Bezug auf die Unbekannten %,, %,,...%, gewonnenen Rela- 
tion 5M,—0, und gleichzeitig den Relationen 24), 31), $. 2 entsprechen, befinden sich demgemäss theils 
Maximal-, theils Minimalwerthe von M,, theils vielleicht auch solehe, welche weder ein Maximum noch 
Minimum von M, darstellen. Den Inbegriff aller dieser Werthe von M, wollen wir unter der gemeinschaftlichen 
Benennung Hauptwerthe von NM, auffassen, und im Gefolge dessen folgende Sätze anführen: 
Ist M, im Bereiche der zulässigen Veränderlichkeit stabil positiv, oder stabil negativ, so besitzt es im 
ersten Fallnur positive, im zweiten Falle nur negative Hauptwerthe. 
Ist 7, im Bereiche der zulässigen Veränderlichkeit nieht mit einem stabilen Vorzeichen versehen, so gilt 
dies auch von den Hauptwerthen von M,. 
Das gemeinschaftliche Vorzeichen aller Hauptwerthe von M, gehört auch den säiumtlichen Werthen von 
M, an. 
30) 
31) 
32) 
1) 
