bILDLNG DER SUNMEIRISCHEN FUNGTIONEN DER WURZELSUSTEN 
ESULTANTE SINULTANER GLEICHUNGEN 
DE- GUSTAV vox ESCHERICH. 
VORGELEGT IN DER SITZUNG DER MATHEMATISCH-NATURWISSENSCHAFTLICHEN CLASSE AM 27. JÄNNER 1876. 
Zur Berechnung der einfachsten symmetrischen Funetionen der Wurzeln einer Gleichung besteht eine ziem- 
lich grosse Anzahl Methoden. Die älteste und bekannteste derselben drückt mittelst einer allgemeinen von 
Waring herrührenden Formel zuerst die angegebene Function durch die Potenzsummen der Wurzeln aus, 
und dann jede dieser Potenzsummen vermöge der Newton’schen Relationen durch die Co&ffieienten der Glei- 
chung. Diese Methode leidet an mehreren, theils theoretischen, theils praktischen Gebrechen, von deren 
letzteren das hauptsächlichste ist, dass sie viele Glieder in die Rechnung aufzunehmen und fortzuschleppen 
zwingt, die sich schliesslich im Endresultate vernichten. Es hat deshalb Waring in seinen „Meditationes 
algebraicae“ eine neue Methode aufgestellt, die Glied für Glied aus der vorgelegten symmetrischen Funetion 
eliminiren lehrt. Dieses Verfahren, das auch Gauss in der „Demonstratio nova altera“ angibt, besitzt vor 
der älteren Methode allerdings den Vortheil, klar zu zeigen, dass jede symmetrische Funetion der Wurzeln 
eine ganze und ganzzahlige Function der Coäfficienten der Gleichung ist: es erfordert aber nicht minder 
langwierige Rechnungen. Auch die theoretisch so elegante Methode Cauchy’s, der Reihe nach die einzel- 
nen Wurzeln der Gleichung aus der gegebenen symmetrischen Function zu eliminiren, beansprucht zu ihrer 
Ausführung oft mühselige Rechnungen. Durch grosse Einfachheit zeichnet sich hingegen das von Abel 
Transon! angegebene Verfahren aus, das sich noch durch die von ihm gefundenen Sätze über den Grad 
und das Gewicht einer symmetrischen Funetion erheblich vereinfacht. Diese Sätze haben auch zu einer an- 
deren höchst eompendiösen Berechnungsweise der symmetrischen Functionen geführt. Sie ermöglichen es 
nämlich, die litterale Form der symmetrischen Funetion aufzustellen. Die noch unbekannten Co&fficienten 
derselben werden mittelst eines Systems linearer Gleichungen bestimmt, das man erhält, entweder, indem 
man in die litterale Form die Wurzeln und Co£fficienten zweckmässig gebildeter Gleichungen substituirt, 
1 Nouvelles annales des mathematiques, t. IX. 
