952 Gustav v. Escherich. 
oder durch eine von Brioschi ! aufgestellte Differentialformel für Functionen aus den Coäffieienten einer 
Gleichung. Auf einem ganz neuen Prineipe beruht die von Borchardt? angegebene Methode. Er stellt 
nämlich eine erzeugende Function auf, aus deren Entwicklung alle einfachsten Typen der symmetrischen 
Functionen hervorgehen, und bestimmt dann dieselbe durch die Coefficienten der gegebenen Gleichung. 
Von diesen Methoden wurde zuerst die älteste durch Poisson für ein System siınultaner Gleichungen 
erweitert. Diese Methode ist aber wegen der ungeheuren Rechnungen, die sie erfordert, fast praktisch un- 
ausführbar. Mit derselben nahezu identisch ist auch das von Schlaefli? angegebene Verfahren zur Bestim- 
mung der symmetrischen Functionen. Der wichtige Satz über den Grad des Zählers und Nenners einer sym- 
metrischen Function, den Scehlaefli bei dieser Gelegenheit aufstellte, erhielt seine Ergänzung durch eine 
merkwürdige Abhandlung Betti’s*, in welcher derselbe Formeln entwickelte um die symmetrischen Fune- 
tionen direet durch die Coeffieienten der Gleichungen auszudrücken, ferner Sätze über den Grad, das totale 
Gewicht und die partialen Gewichte ® des Zählers der symmetrischen Function und auch den Nenner dersel- 
ben finden lehrte. Diese Sätze besitzen aber keineswegs mehr die grosse Verwendbarkeit, wie die analogen 
bei den Gleichungen mit einer Unbekannten. Sie vermögen allerdings die litterale Form des Zählers der 
symmetrischen Function festzustellen, und wäre daher noch der Nenner berechnet, so liesse sich in ähn- 
licher Weise, wie bei den Gleichungen mit einer Unbekannten die ganze Function bestimmen. Aber ab- 
gesehen davon, dass jetzt eine ziemlich grosse Anzalıl linearer Gleichungen zur Bestimmung der Coeffi- 
cienten der litteralen Form erforderlich, also eme eben so grosse Anzahl Systeme simultaner Gleichungen mit 
angenommenen simultanen Wurzelsystemen zu bilden wäre, lassen sich diese nicht mehr mit derselben Leich- 
tigkeit herstellen, wie eine Gleichung aus gexebenen Wurzeln. 
Wegen der Schwierigkeiten, welche der Ausführung all’ dieser Methoden entgegenstehen, habe ich ver- 
sucht, ob sich nicht die Methoden Cauchy’s und Abel Transon’s verallgemeincern lassen und auch ein- 
fachere Methoden ergeben. Meine Bemühungen führten mich auf ein Verfahren, welches in den folgenden 
Blättern dargelegt werden soll. Dasselbe eignet sich zur Berechnung jedweder gegebenen symmetrischen 
Function, lässt aber bei den einfachsten Typen derselben in Folge der Sätze Betti’s eine besondere Kür- 
zung zu. Die Beschaftenheit dieses Verfahrens liess auch erkennen, dass mittelst desselben die logarith- 
mische Berechnungsweise der Resultante, die Lagrange® für zwei simultane Gleichungen ‚anwandte, für 
ein beliebiges Gleichungssystem sich relativ einfach gestaltet. Ganz ungesucht führte die Entwicklung dieses 
Verfahrens auch zu einer Verallgemeinerung der Methode Borchardt's. 
Das ganze Verfahren beruht hauptsächlich auf den Eigenschaften einer gewissen Function, die, wie ich 
‚erst nach Beendigung meiner Untersuchungen zufällig ersah, schon von Jacobi ° für den Fall zweier simul- 
tanen Gleichungen zur Berechnung der Potenzsummen ihrer Wurzeln benützt wurde. Jacobi hat Jedoch, da 
seine Abhandlung mehr auf die Verallgemeinerung einer äusserst wichtigen Formel abzielte, sein Verfahren 
zur Berechnung der Potenzsummen nicht weiter ausgebildet. Auch diese Formel in aller Allgemeinheit °, die 
später Liouville®? aus einer Relation — die er mittelst seiner Eliminationsmethode gewann, und die er für 
allgemeiner als die Jacobi’sche hielt — durch einen Übergang von (+1) zu » Dimensionen ableitete, ergibt 
sich im Folgenden ganz von selbst. Es zeigt sich aber, dass in dieser Jacobi’schen Formel die von Liou- 
1 Annali di Tortolini, t. V. 
2 Crelle’s Joumal, Bd. 53. 
3 Denkschriften d. kais. Akad. d. Wiss. in Wien, Bd. IV. 
* Annali di Matematiea, t. I. Sopra le funzione simmetriche ete. 
5 Diese Sätze lassen sich auch ohne Benützung der Abhandlung Betti’s in derselben Weise darthun, in welcher Sal- 
mon (Lesson introductory ete. Deutsche Ausgabe, p. 65) die Sätze über den Grad und das Gewicht einer Resultante von 
drei homogenen Gleichungen beweist. 
6 Sur l’@limination des ineconnues etc. Oeuvres 3. 
? Crelle’s Journal, Bd. 14. Theoremata nova etc. 
8 Dass Jacobi die Allgemeinheit seiner Formel kannte, geht aus seiner Abhandlung über das Cramer’sche Paradoxon 
hervor: T'heoremata de punetis ete. (Crelle’s Journal, Bd. 15). 
9 Journal de Math&matiques, Ser. I, t. IV. 
