254 Gustav v. Escherich. 
Diese Aufgabe bietet keine grossen Schwierigkeiten, denn der blosse Anblick der Summe 2) erinnert 
an die Zerlegung einer echt gebrochenen algebraischen Funetion in Partialbrüche, und führt also auf den 
Gedanken, die Lösung der Aufgabe auf diesem Wege zu versuchen. 
’ o 
Ist nun ®(z,, &,...x,) eine ganze rationale Function, die nach keiner ihrer Veränderlichen x, &,...x, 
den (a—1)ten Grad übersteigt, so ist: 
D(x,, %y---&n \ Dan are...) 
A@)R@)..- Ba) „Lo, Me) Bed. Fran) ea) a). 
wo die Indices » alle Werthe von 1 bis ». annehmen. Soll daher die gestellte Aufgabe lösbar sein, so muss 
sich eine ganze, rationale Function ®(z,, &,...x,) finden lassen, die nach keiner der Variablen x, &,...@, 
den „ten Grad erreicht, und von den Eigenschaften, dass: 
1. ®(atı, a2...a””) verschwindet, wenn nicht alle Indices » einander gleich sind; 
F, (ai!) F, (a2)... En (ar) 
m: Tr. Tn 
D (an, ap8...an 
2) 
für n—r,=...r, einer ganzen Function der « gleich wird. 
Ich will nun eine Function, welehe die erste der angegebenen Eigenschaften besitzt, suchen, und es 
wird sich zeigen, dass derselben auch die zweite zukommt. 
Nach dieser Eigenschaft der Funetion ® muss jedes der Producte: 
of, Df---Dfn 
für die Substitution irgend welcher » Wurzeln, die verschiedenen Zeiten von 1) entnommen sind, verschwin- 
den. Diesen Producten kann man daher die Form geben: 
| 2 n FR 
of =dR+dÜBR+..+aF 
| 2 
GG =uUMr + Rt... ti, 
ee 27 
DE — Ha... touh, 
wo man offenbar die a als ganze Functionen der &,, @,...@, annehmen darf. 
Nun bestehen bekanntlich Systeme ganzer Functionen m, welche die Relationen erfüllen: 
F, 
ser, 4 1£ 2 
mal Mo nee 
R=mf m ft... tm In 
== mar, mit... tm, 2 
Bezeichnen daher die m die einfachsten Multiplicatoren, so ist die Funetion 
Br tm Min. m" 
Mn, 
welche nach keiner der Veränderlichen &,, @,...2, den (a—1)ten Grad übersteigt, die einfachste Function, 
welche der gestellten Bedingung Genüge leistet. 
Diese Funetion ist dieselbe, welche schon Jacobi für den Fall zweier simultanen Gleichungen aufstellte , 
und von welcher er sodann die oben genannten Eigenschaften nachwies. 
Dass der Function ®—= Em! m}...m“ auch die zweite der geforderten Eigenschaften zukommt, und 
Er ACH) > a : : 
IHREN) En) für die Substitution eines Systems simultaner Wurzeln denselben Werth 
D(z, an) df, %f, 9, 
annimmt, welehen die Functional-Determinante der vorgelegten Gleichungen Se 
zwar, dass 
für die 
dx, 9x, oe 
Substitution desselben Systems erhält, ergibt sich aus ganz denselben Betrachtungen, welche Jacobi für 
den Fall zweier Gleichungen in der erwähnten Abhandlung durchgeführt hat. 
