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Beiträge zur Bildung der symmetrischen Funetionen der Wurzelsysteme etc. 
X 
Die gefundene Function Z-+ m! m}...m" genügt somit allen gestellten Bedingungen. 
2 
i 3 ö a 1,0, 0 
Bezeichnet man daher mit D(x,, z,...x,) die 'Funetional-Determinante 2+ 1 2, und mit 
CE 
® (x, &y...x,) die Determinante S+ mi my...m,, So ist: 
B 
P(&,, ger Kn) N) 1 I 3) 
A k A 
F,(@,) F,(@,)---%(&n) L ‚D(ak, e&...cr) (©, —-&) (©, — 0%)... 2,— a5) 
III. 
Bleibt die Summe 
2 Dlatı, abı...ah; ale al. ..ahe;...a, ar...a), 
Aka.) 
in weleher 
W(alı, abt...ahl; abs, ale. .„abr;...a0N, ar... cr) 
eine ganze, rationale Function der aft, a, ...alr bezeichnet, und in der die Indiees alle von einander ver- 
schiedenen Werthe der Reihe 1 bis „. annehmen, für alle möglichen Vertauschungen der sämmtlichen simul- 
tanen Wurzelsysteme der vorgelegten Gleiehungen unverändert, so soll diese Summe eine X-förmige symme- 
trische Function der simultanen Wurzelsysteme genannt werden, 
H ® .. ® ” 
Um nun die einförmige, symmetrische Function EZ W(a}, a}...a”) durch die Co@ffieienten der Gleichun- 
=1 
= 
gen auszudrücken, wird man in der Entwicklung von 
BR, 2...) P (2%... 20) Die, 22...) 
F, (&,) F,(@,)... Fu (&n) 
»ach fallenden Potenzen der x den Coäfficienten von (x,, z,...@,)-! aufsuchen. Dieser ist dann nach (I.) der 
gesuchten symmetrischen Function gleich. 
Die mehrförmigen symmetrischen Funetionen können durch eine fast augenfällige Modification dieses 
Verfahrens bestimmt werden. 
Um z. B. die zweiförmige symmetrische Function 2 W(alı, alı...ait; al, al ...a") zu berechnen, 
hi, h2 
transformire man zuvörderst die Gleichung 3) dadurch, dass man ein Glied der Summe rechts, etwa das te, 
von beiden Seiten der Gleichung subtrahirt; man erhält so: 
Dee) a 1 
F,(&,) F,(@,) --- Fr (&n) D (ar, @3...24) (&, — a) (2, — 2). (2 e/) 
1 
> Zu D(ab, ab...at) (© —ar) ya)... (0a 
wo % alle Werthe der Reihe 1 bis . mit Ausnahme von % annimmt. Multiplieirt man den Ausdruck links mit 
Wal, 2,...0%; 2, %y...%,) D(&,, ©,...x,), und bezeichnet in der Entwicklung dieses Productes nach fallen- 
den Potenzen der x den Coäfficienten von (z,, —!, welcher eine Function der Wurzeln a*, a4...a/ 
sein wird, mit Y(z7, a4...a*), so ist nach (D): 
- 
Kerl, 
ler. ah N 55 hg nu Ur % 
L(oR, ab...ah Er le elsore ee 
wo das & unter dem Summenzeichen alle Werthe von 1 bis x mit Ausnahme von A annimmt. Daher ist der 
Coeffieient von (x, &,...2,)-'! in der Entwicklung des Ausdruckes: 
D (2, 2... 2) D(4) +.) V& 89-2) 
F,(&,) F(&) Fun (&n) 
nach fallenden Potenzen der x gleich der gesuchten zweiförmigen symmetrischen Function. 
