Beiträge zur Bildung der symmetrischen Functionen der Wurzelsysteme ete. 257 
wo die p und g Exponenten bedeuten, und die % alle möglichen von einander verschiedenen Werthe der 
Reihe 1 bis x erhalten sollen, so liessen sich dieselben in ähnlicher Weise berechnen. 
Bezeichnet man in der Entwicklung des Quotienten 
Dim X. .x,) D (ap Eysu.&h) 
F, (=, ) F, (2) 7 En GC) 
nach fallenden Potenzen der Grössen x den Coöffieienten von a7?ıt!) zz'r+V...a7?-+0 mit A, den von 
at) at... et) mit DB, in der mit 9 (2, @,...@,) multiplieirten obigen Entwicklung den Co&ffieien- 
ten von (&,, %,...%,) mit C, den von z7ıt) @{re+0...z7 ent!) mit D, den von a4 z@+N),. „„a+D 
mit E und den von a7 rıtaıt!) wetter)... @rtmt0 mit F, so ist 
S,—= ABÜO—AD—BE-+F. 
Man sieht hieraus klar, wie sich die Rechnung für eine derartige vier- und allgemein %-förmige symme- 
trische Function gestaltet. 
Der zweite, weit wichtigere Fall ist der, dass in jedem Gliede der Funetion W(ayı, agt...alız...a’r, a, 
...a,») alle Wurzeln a‘, &...@/. vorkommen. Dann gehört die %-förmige symmetrische Funetion : 
ZW lat, abı...alız...ar, @r...a,’%) zu jenen einfachsten Typen symmetrischer Funetionen der Wurzel- 
Barlio.. A 
systeme, welche alle ganzen, symmetrischen Funetionen additiv zusammensetzen. Für diese einfachsten 
Typen der symmetrischen Funetionen ermöglichen die von Schlaefli und Betti aufgestellten Sätze über 
ihren Grad, ihr vollständiges Gewicht und ihre partialen Gewichte eine besondere Vereinfachung des aus- 
einandergesetzten allgemeinen Verfahrens zur Berechnung der symmetrischen Funetionen. Man wird näm- 
lich bei Berechnung dieser symmetrischen Functionen vor Beginn der nöthigen Operationen jedesmal alle 
jene Glieder unterdrücken, welche nach Massgabe dieser Sätze im Schlussresultat nieht erscheinen können, 
also insbesondere jene Glieder, deren Grad, vollständiges oder partiales Gewicht, zu der nach diesen Sätzen 
im Endresultat zu erreichenden Grenze nicht herabzusinken vermag. Während der Ausführung der nöthigen 
Rechnungen mit den so abgekürzten Ausdrücken wird man dann immer sogleich alle jene Glieder weglassen, 
die den durch die Sätze Schlaefli’s und Betti’s ausgesprochenen Bedingungen nicht Genüge leisten. 
Der dritte Fall tritt ein, wenn die symmetrische Function 5 die Form hat: 
S= bla, as...) Altana... sl (ala. nae), 
wo Y(%,&,...2,) eine ganze, rationale, algebraische Funetion der x, &,...x, bedeutet; also, wenn S die 
Resultante des Systems simultaner Gleichungen : 
ee Be) IR Ne 0 
ist. Der Logarithmus dieser „-förmigen symmetrischen Funetion ist nun gleich einer transcendenten, ein- 
förmigen, symmetrischen Function, nämlich 
n/* 
m 
19:— Bl (ara. sa 
! 
R— 
* . ” * . te i 
Entwickelt man daher Zy(z,, &,...=,) in eine Potenzreihe, so lässt sich Z /y(at, a4 ..a*) auf die 
h—1 
für die einförmigen, symmetrischen Funetionen angegebene Art berechnen. Hat man auf diese Weise 
IS—=u 
gefunden, wo die Function » blos aus den Coäfficienten der Gleichungen zusammengesetzt ist, so 
ergibt sich 
w* 
Veit l+0+9ı +... 
Denkschriften der mathem.-naturw. Cl. XXXVI. Bd. Abhandl. von Nichtmitgliedern. hh 
