Beiträge zur Bildung der symmetrischen Functionen der Wurzelsysteme etc. - 259 
Damit ist die Entwicklung von FI&(x,, &,-..x,)], also auch die von /Y (x, @,...x,) nach Potenzen von 
%, %,...x, bewerkstelligt. Andere Methoden zur Entwicklung speeiell von /Y(@,,@,...x,) ergeben sich aus 
den von Lagrange in der erwälnten Abhandlung für den Fall einer Funetion einer Veränderlichen an- 
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gewandten. 
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Die vorhergehenden Betrachtungen legen den Gedanken nahe, eine erzeugende Function der einfach- 
sten Typen der symmetrischen Verbindungen der simultanen Wurzelsysteme aufzustellen, also eine solche 
Function, aus deren Entwicklung alle diese Typen hervorgehen. Vermag man dann eine dieser Entwick- 
lung äquivalente zu bestimmen, deren Entwicklungscoöffieienten aber die Wurzeln der vorgelegten Gleichun- 
gen nicht enthalten, so ist eine Methode zur Berechnung dieser einfachsten Typen der symmetrischen 
Functionen gefunden. 
Eine solche erzeugende Funetion ist offenbar die Summe: 
. 
Sr 1 
/ 1 1 1 1) 1 1 2 2\ (22 2 2 2 m [7 u) \? 4) 
zu -4)& 2)... da) (5 2) 5)... 8%). - - ee) (25). 0) 
welche ausser dem angeschriebenen Gliede noch alle Glieder umfassen soll, die aus ihm durch alle mög- 
lichen Vertausehungen der Wurzelsysteme erhalten werden. Die Entwieklung dieser Summe nach fallenden 
Potenzen der £ besitzt nämlich die einfachsten Typen der symmetrischen Funetionen zu Coeffieienten. 
Um die dieser Entwicklung geforderte äquivalente aufzufinden, bilde man den Ausdruck: 
DE ERDE REN DIE ERBE) TA, 2) 5) 
F, (4) F, (3). Ft) Ay F, (3) F, (En (#4) Il? (21, ar... at) ; 
wo die Functionszeichen D, F, ® die frühere Bedeutung haben, und II(t, ...t}) die von Jacobi ge- 
brauchte Bezeichnung für das Differenzproduet der tl, r}...t+ ist. Die Coöffieienten in der Entwicklung dieses 
Ausdruckes nach fallenden Potenzen der + sind gleich den Co&ffieienten, welche in der analogen Entwick- 
lung der Summe 4) demselben Producte der # angehören. Denn denkt man sich 
Di, ) Dt). Di, ti...th) 
FR Ba). HM) RW. 7.) 
in Partialbrüche zerlegt, so ersieht man sofort, dass nach (I.) die Entwieklungseoeffieienten von 5) gleich 
sind den Entwicklungseo£ffieienten desselben Productes der z in 
1 I? (atı,at2...a'%) 
I? (ei, 0?...ar) re, (d-akı)...(d—atı)... (au) (ae)... (ir—ae)” 
wo die Indices %,, A,...h, alle möglichen Werthe von 1 bis » annehmen. Da aber Illa}', @j°...x,'«) ver- 
schwindet, sobald irgend zwei der Indices A einander gleich werden, so redueirt sich diese Summe auf die 
Summe 4); nun kann bekanntlich I1?(z!, «%...x#) in einfacher Weise durch die Coeffieienten der Gleichung 
F,(&,) = 0 ausgedrückt werden, somit enthält die Entwicklung von 5) nach fallenden Potenzen der z keine 
Wurzeln der Gleiehungen in ihren Coeffieienten, und entspricht somit den gestellten Bedingungen. 
VI. 
Die auseinandergesetzten Methoden dienen blos zur Berechnung der ganzen symmetrischen Funetionen. 
Die Bestimmung der gebrochenen symmetrischen Funetionen wird im Allgemeinen durch den Umstand erle- 
digt, dass jede derartige Function sich als der Quotient zweier ganzer symmetrischer Funetionen darstellen 
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