260 Gustav v. Escherich. 
lässt. Es ist dies blos eine Folge des allgemeinen Satzes, dass jede rationale gebrochene Function der Wur- 
zeln eines oder mehrerer simultaneı Systeme in 1) äquivalent ist einer rationalen ganzen Function dieser 
Wurzeln, die nach keiner derselben den („—1)ten Grad übersteigt. 
Es seien im Quotienten: 
Y(at, ab...ch) 
[R 2 
Tee, h 
via, a2...) 
y und Y ganze rationale Funetionen der Wurzeln a, a4...a“. Dann ist 
n 
elle tat ‚zeh)ih di(ai,sozeb. dın Hl lea) nn at, ENDEN 
Yılok, ab.: .at) DIE, a al) & (eh, ale b(lat, ab. 2) 
n) o(ah, ee) 
somit der Nenner Y(al, a,...al)...v(at, ab...a%) als ganze symmetrische Function der simultanen Wurzel- 
systeme durch die Coeffieienten der derchingen ausdrückbar. Der Dividend dieses Quotienten ist eine 
ganze symmetrische Function der simultanen Wurzelsysteme al, al...al;... al, al-1...ar-i; ahtı, art1 
... ab, ab...as, und lässt sich durch eine rationale ganze Function der Wurzeln des Systems «* 
ab...‘ ausdrücken. 
h+1. 
Lak: v 
Denn wendet man auf die Gleichung: 
\ Dean, ai 20) 1 ) 
IF @) R,@,)-.. Pa) Dia ab...a) (©) a (2, al)... (8, an) 
NS: 1 
(7 — .D(e,, &...ar) (2, — er) (9, — at)...(@,— ak)’ 
wo % alle Werthe der Reihe 1 bis u. mit Ausnahme von % annimmt, das angegebene Verfahren zur Berech- 
nung der ganzen, symmetrischen Functionen an, so erhält man hiedurch jede ganze symmetrische Function 
der simultanen Wurzelsysteme in der rechten Seite dieser Gleichung als rationale ganze Funetion der Wur- 
zeln des Systems z/, a...a. Kommen nun etwa in dieser Function Potenzen der «', «4... in einem höhe- 
ren als dem (u—1)ten Grade vor, so kann man alle diese Potenzen vermittelst der Gleichungen: 
CINE CAR 
eliminiren. 
Hat man eine rationale, gebrochene Function der Wurzeln mehrerer Systeme, so kann man dieselbe 
zuvörderst nach dem oben auseinandergesetzten Verfahren als eine ganze, rationale Function der Wurzeln 
eines Systems darstellen, die nach keiner dieser Wurzeln den (u—1)ten Grad übersteigt. Die Coeffiecienten 
dieser Funetion sind nunmehr rationale gebrochene Functionen blos der Wurzeln der noch übrigen simul- 
tanen Systeme der ursprünglichen Funetion. Wendet man daher dieses Verfahren auf jeden der erhaltenen 
Coöfficienten an, so kann man jeden derselben in eine rationale ganze Function der Wurzeln eines zweiten 
simultanen Systems umformen, die nach keiner derselben den uten Grad erreicht, u. s. f. 
Für die gebrochenen symmetrischen Functionen bestehen noch wichtige Relationen, vermittelst welcher 
man auch die Berechnung der Coöffieienten der Endgleichung eines Systems von » simultanen Gleichungen 
auf die Bestimmung einer gebrochenen symmetrischen Funetion der Wurzelsysteme von (2—1) simultanen 
Gleichungen zurückführen kann. Dieselben ergeben sich aus einer äusserst wichtigen Formel, welche 
zuerst von Jacobi für den Fall zweier und von Liouville für ein beliebiges System simultaner Gleichun- 
gen abgeleitet wurde. In der vorliegenden Untersuchung erhält man dieselbe ganz unmittelbar aus der 
Bemerkung in (1.). 
