5 5^ MÉMOIRES DE l'Académie Royale 

 généiolllé d'élever la méthode de M. de la Grange fort au-defllis 

 de la Ikiine , en infiftant particulièrement fur ce qu'elle fournit 

 certaines équations déterminées qui fervent à réioudre les pro- 

 blèmes d'une manière plus générale , mais il faut avouer que 

 tous les Savans ne font pas fur cela du fentiment de M. Euler ; 

 quelques-uns trouvent que l'ulage de ces équations déterminées, 

 n'ell ni rigoureufement démontré , ni fuffifamment indique dan« 

 la folulion de M. de la Grange ; & même un grand Géomètre 

 qui vient de lire à notre Académie un Mémoire fur cette 

 matière, va beaucoup plus loin, puilqu'il prétend que ces équa- 

 tions font illufoires & n'apprtiennent nullement à la queflion. 

 Cette différence dans les jugemens qu'on a portés fur cette mé- 

 thode , m'ayant donné ia curiofité de l'examiner , j'ai voulu voir 

 d'abord s'il ne feroit pas poffible d'avoir une autre folution qui 

 pût fervir à décider la queltion , & enfin j'en ai trouvé une qui 

 eft fimple & inconteftable & qui renferme néceffai rement toutes 

 ies équations qui peuvent avoir rapport au problème : j'ai vu par 

 celte lolution, qu'en effet, il y avoit dans la queftion générale 

 dont il s'agit , d'autres queftions particulières qui étoient réfoiues 

 par les équations déterminées , données par M. de ia Grange : 

 mais j'ai trouvé en même temps, pour le premier & le dernier 

 point de l'intégrale, des équations un peu différentes de celles de 

 ce célèbre auteur, ainfi qu'on va le voir dans la fuite de ce 

 Mémoire. 



Qoique ma folulion lôit indépendante de toute confidératioii 

 géométrique , je me lêrvirai cependant de figures pour mieux 

 fixer les idées. 



PROBLEME. • 



Fig. I . Soient deux courhes données P C Q , R M S , on demande de 

 trouver une troifième courbe C K M terminée par les deux premières 

 qui ait cette propriété , qu'une certaine fotiâion intégrale de fes 

 coordonnées à" de leurs différences , foit un maximum ou un 

 minimum. 



Solution. 



Premier Cas. Suppofons d'abord que par la nature du 



problème 



