55$ MÉMOIRES liE l'Académie Royale 

 Exemple I. 



Prenons celui auquel Ad. de la Grange a appliqué fii folution, 

 011 JeiminJe de trouver la ligne Jur laquelle un corps doit Je 

 mouvoir pour dejcendre d'une courbe donnée à une autre courbe 

 donnée dans le plus petit temps pojjihle. 



Solution. 



y étant l'ordonnée, .v rabfcifle, & s l'arc de la courbe; i't'lé- 



meiit du temps fera — — ou — — - — -, dont il faudra que 



l'intégrale (bit un minimum ; diffcrenciant & employant les 

 dénominations de la folution générale , on aura n z= o , 



'' TV — Z^!^ , P — -i^ ; & la folution 



donnera Av^ — p -hf — nj -h ^y . { — P -h / — N^ 

 — o, pour le premier point de la courbe; «"' — dp'" z:zz o , 



ou JV'" dP'"' ■:=z o pour la courbe en général; <k p'^J'x" 



—1— /^J^j" n:^ o, pour le dernier point : fubftituant dans ces 

 équations les valeurs de n, N, p Se P, 8c faifant les intégrations 

 nécelfaires, on trouvera pour les deux points extrêmes les deux 



équations -^ — . zzz ^^— . & -7— z=. / ^ il luit de la 



première équation que les lignes R MS & CKM doivent fe 

 couper à angles droits au point M , il fuit de la féconde équation 

 que la tangente menée par le point C à la ligne PCQ^, doit 

 être parallèle à la tangente menée par le point Mk la ligne RMS: 

 quant à la courbe CKM en général , on trouvera par l'équation 

 «"^ — dp'"^ rz: o que c'elt un cycloide. 



J'ai déjà dit que M. de la Grange avoit appliqué (à folution 

 à ce problème , mais ce célèbre Géomètre trouve que la courbe 

 cherchée, doit couper à angles droits les deux courbes données, 

 au lieu que ma folution ne donne cette condition que pour la 



* On doit fè rappeler que par ces exprofîions dy'^j dx'^, <Scc. nous n'en- 

 tendons pas les puilîances u de dy ou dx, mais que nous dt-Tignons le <// 

 qui répond à l'abfciffe udx. 



