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féconde courbe; pour faire voir qu'en effet cette condition ne 

 peut convenir à la première courbe, je remarquerai que le pre- 

 mier côté de la brachyltochrone doit toujours être vertical , ce 

 qui exclut évidemment Te ré(uilat de M. de la Grange; outre cela 

 quoiqu'il foit vrai que la brachyitochi'one doive coupler la leconde 

 courbe à angles droits , ainfi que M. de la Grange le dit 6c que 

 M. Jean Bernoulli l'avoit trouvé autrefois, néanmoijis cela n'eft 

 pas donné par les équations p'' zr: o , ou F" :z= o , dont 

 M. de la Grange s'efl fervi au lieu de la vraie équation p" i'x'* 



Exemple II. 



L'exemple précédent nous a montié l'ufage de la fôlution dans 

 le cas où la fonction donnée ne contient que des différences du 

 premier ordre; fuppofons à préfènt que la fonflion contienne d^s 

 différences du fécond ordre, la lolution généiale donnera alors 

 ies équations fuivantes S' x . [ — p -i- tJ^ -+~/{ — "J] -t- <^y • 

 [ — P-H JQ -+-/{ — ■A'V] = o, pour le premier point; 

 ^ z=: o, Q :=: o pour le (êcond point ; «'" — c/p'" -j- Mij" 



zzz: o, ou iV'" dP'" — t— JclQ" -^z o pour la courbe en 



général; q'" ■=. o, ou Q" zzz o pour l'avant -dernier point; 

 & enfin (p" — Jg^J J^x<- -+- { P" — JQ'J <^y« = o , pour 

 le dernier point: pour concevoir l'ulâge de ces équations , fiippolons 

 d'abord qu'on le ferve de la (êule équation «'" — Jp'" -+-dJq"' zz o: 

 cette équation pouvant contenir des différences quatrièmes, il eft 

 clair qu'en intégrant on introduira quatre confiantes dans l'inté- 

 gration; liippcfons, pour fimplifier, que le premier & le dernier 

 point foient donnés, cette (iippofition fervira à déterminer deux 

 confiantes , mais il en leflera deux encore qiii permettront de 

 donner au piemier & au dernier côté de la courbe , une pofition 

 quelconque par l'apport à l'axe des abfciffes ; par conléquent 

 i'équation «'" — dp" — J— ddq" ^ o , répondia feulement à 

 celte queflion : parmi toutes les courbes qui aboutiffent à deux 

 points donnés, & dont le premier & le dernier côté ont des 

 pofitions données, trouver celle dans laquelle /Zeft un maximum: 

 il efl évident ■que pr -le fèul énoncé -de la queftion- les -deux 



