574 MÉMOIRES DE l'Académie Royale 

 Vdv, dans laquelle V d\ une fonclion rationnelle iàns dénotni- 

 iwleiir, formée de i; & des fmus & codnus de tant d'angles 

 pv -i- a., qnj H— S, rv — |— J^, &c. qu'on voudra, p, q, &c. 

 ayant un rapport rationnel. 



(5.) Soit Vd'V X a^^"^ / -•- » m-jg quantité dans laquelle V fôit 

 une fonclion rationnelle de f, ^ & ^ des conftmtes quelconques , 

 &: m l'unité ou \.mfi fraction dont le numérateur foit l'unité ; je 

 dis que l'intégration de cette différentielle le réduiia à celle d'une 



d 



quantité de cette forme - — ^; il en efl de même de toute 



quantité de cette forme — i 1. , m étant un nombre 



•a 

 quelconque. 



( 6. ) J'ai donné dans les Mémoires de Berlin de 1 746 & 

 174S, la forme d'une grande quantité de difTérenlielles , réduc- 

 tibles ou aux fraélions rationnelles ou aux arcs de feélions coniques; 

 il nef! pas difficile de trouver, d'après ces formes, une quan- 

 tité Irès-confidérable de différentielles Vdnj (v étant un angle 

 variable, Se V une fonclion dépendante de t;^ qui s'intègrent 

 par des fiaélions rationnelles ou des arcs de fedions coniques. 

 Pour cela, il fùfnt de fe fou venir que fi on nomme x le finus 



d M 



de v, on aura dnj zizz — -, & cof. v z=. V(i — xx); 



V(i — X») ' ' 



que fin. p'v & cof. pnj, p étant un nombre entiei* pair ou impair, 

 s'expriment par une fonclion fans dénominateur qui ne peut 

 jamais contenir d'autre radical que V(i — xx); que fin. xpqj 

 rr: xXVfi — xxj, X étant une fonélion de x , dans laquelle 

 il n'entre que des puilïïinces paires fans radical ; que cof. zpv=iX' 

 X' étant une quantité de même efpèce que X; que fin. q nj r= x X, 

 fi q efl un nombre entier impair, & cof. q'v nr X'V{i — xxJ; 

 d'où il efl clair que c/v fin- ipv &. dv cof. qv ne contiennent 

 point de radical, non plus que fin. fip ~i- ij'u, Se cof. fq -+- ijv, 



( 7.) On peut donc réduire à l'intégration des fraélioiis ration- 

 nelles toutes les différentielles fuivantes : 



