i^2 MÉMOIRES DE l'AcADJ£M1E RoYALE 



L E M M E I. 



Si i'on a un nombre n d'équations du premier degi-é qui 



renfeiTnent chacune un pareil nombre d'inconnues , (ans aucun 



terme ablolument connu , on trouvera par la règle fùivaiite 



, la relation que doivent avoir les coëlficiens de ces inconnues 



pour que toutes ces équations aient lieu. 



Soient a,b,c,d, &c. les coëfRciens de ces inconnues dans 

 la première équation. 

 d , h' , c, (î , &c. les coëfficiens des mêmes inconnues 



dans la féconde équation. 

 a , F , c" , d', &c. ceux de la ti-oifième & ainfi de fuite. 

 FoiTnez les deux permutations ab&i.ba èi. écrivez ab — ba ; 

 avec ces deux permutations & la iettie c , formez toutes les 

 permutations poïïibles , en obfervant de changer de figne toutes 

 les fois que c changera de place dans ab Si.h même chofe 

 à l'égard de ^<3; vous aurez 

 abc — acb -J— cab — bac ~\- bca — cba. 

 Avec ces fix permutations & la lettre d, formez toutes les 

 permutations poffibles, en oblèrvant de changer de figne à 

 chaque fois que d changera de place dans un même terme ; 

 vous aurez 



nlcd—alâc-\-adbc — ilnhe — achil-\-ac<{l — aiicb-\-iliicb-\-cah/l — caJi-t-cdab^Ac/il 

 -cacii-^badc — bilac+dbac-\-bcnd — bcda-^bdca — dlca — cbad-^-cbda — cdba-\-dcba 



& ainfi de fuite ju/qu'à ce que vous ayez épuife tous les coëf- 

 ficiens de la première équation. 



Alors confêrvez les lettj-es qui occupent la première place ; 

 donnez à celles qui ocaipent la féconde, la même maïque 

 qu'elles ont dans la féconde équation; à celles qui occupent 

 la tioifième, la même marque qu'elles ont dans la troifième 

 équation , & ainfi de fuite ; égalez enfin le tout à zéro & vous 

 aurez l'équation de condition cherchée. 



Ainfi fi vous avez deux équations & deux inconnues comme 

 a X -H b y ■=. o 



d X H- y y = o 



