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En résumé, la siipposilion d'nn rayon infini dans l'une quel- 

 conque de ces quatre formules nous f;iit d'abord voir si elle ap- 

 apparlient >\ un sinus composé ou à un cosinus composé, cl le 

 signe du second terme nous apprend ensuite s'il s'agit d'une 

 gomme ou d'une différence. 



Finalement , nous ferons reniai quer que ces quatre formules . 

 comme les quatre précédentes, n'en font réellement qu'une 

 seule. 



La 1." donne la 2/ quand on change h- cen — c ; cos, v res- 

 tant ( e qu'il est , tandis que sin. c change de signe. 



Elle donne l.i 3." quand on remplace 6 par 90° — 6 et-+- c 

 par — c ; cos h devenant sin. b, el récij roquemeul , tandis que 

 sin. c ne fait que changer de signe. 



Enfin elle donne la k.^ quand on change h eu 90" — b , sans 

 changer le signe de c. 



Réciproquement, on peut revenir d'une des dernières équa- 

 tions à la première , d'une manière analogue ; de sorte qu'il 

 suffira de se rappeler une de ces formules . pour en déduire 

 analytiqiiemenl les trois autres. 



On peut même , si on les suppose démontrées sans le secours 

 de celles des articles 3 et 5 , en déduire ces dernières par une 

 simple addition ou soustraction, ainsi qu'il est facile de le vérifier. 



Or, il existe, pour les preniii''res , une foule de démonstra- 

 tions directes , parmi lesquelles nous ferons choix de la suivante, 

 qui s'appuie sur un théorème fort fécond , et en même temps 

 fort ancien, puisqu'on le trouve dans l'almagesle ou la grande 

 composition mathématique de Ptolémée (*). Ce théorème, dans 

 la trigonométrie sphériquc des ancien^, tenait lieu dos formules 

 ci-dessus. 



Il consiste en ce que : dana tout quadrilatère inscrit ABGI> 

 (fig. 2) le rectangle construit sur les diagonales AG, BD, équivaut 



(*) Livre !."■, chsp 9. 



