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cette troisième transversale ainsi construite ne saurait différer 

 de la troisième transversale donnée; car, pour l'un comme pour 

 l'autre , on aura la même valeur de 



sin.iC — C) 

 sin. C ~ ' 



quantité dans laquelle il n'y a d'indéterminé que l'angle C. Donc 

 les trois transversales sont concourantes. On prouverait de même 

 que la seconde proposition réciproque est le résultat nécessaire 

 de l'égalité du produit des sinus des segments de gauche des 

 trois côtés , c'est-à-dire des sinus de a', h', c', et des sinus des 

 segments de droite, a — a' , b — b' , c — c . 



La proposition dont nous nous occupons , et qui n'est qu'un 

 cas particulier des précédentes, n'est cependant pas dépourvue de 

 généralité. Elle peut donner lieu à de nombreuses applications. 



Il en résulte , par exemple , que les transversales qui divisent 

 les angles d'un triangle en deux parties égales se rencontrent en un 

 même point. Nous le savions déjà ; car ce sont celles qui passent 

 par le pôle du cercle inscrit. 



Ilenestde même des transversales qui joignent les sommets d'un 

 triangle avec les milieux des côtés opposés. 



Nous sommes certains , par le théorème précédenl , que ces 

 trois tr.insversales se rencontrent aussi en un même point Pour 

 ce cas particulier, il y a une autre propriété qui se joint a celle- 

 là : C'est que les sinus des portions dun même angle sont [)ro- 

 portionnels aux sinus des deux autres angles pris respeclivemenl 

 du même côté. En effet , appelant A' et A — A' les portions du 

 premier angle ; B, C, les autres angles, pris respectivement du 

 côté de A' et du côté de A — A' : * , la transversale qui joint le 

 sommet A et le milieu du côté opposé a; nous aurons : 



sin. A' siu.l/2a sin. (A — A') 

 sin. H sin. t sin. C 



