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 nous prenons , ensuite , les pomlii H , l , Kpour les sommets d'un 

 troisième triangle, ayant ses côtés coupés en I,, M, l^,par les mêmes 

 transversales AD, BE, CF, et ainsi de suite; ces triangles successif^ 

 DEF, HIK, LMN, etc., qui forment ainsi une série décroissante, 

 jouiront de ces propriétés communes : 



1 ." Le produit des sinus des segments de gauche des cotés, relative- 

 ment aux transversales AD , BE , CF, sera égal au produit des 

 sinus des segments de droite ; 



2.0 Le produit des sinus des portions de gauche des angles, rela- 

 tivement aux mêmes transversales , sera égal au produit des sinus 

 des portions de droite; 



3.° Les angles d'incidence que chaque côté d'un triangle fait avec 

 deux côtés du triangle qui le précède ou le suit immédiatement dans 

 la série, étant aussi classés par catégories, relativement aux mêmes 

 transversales, le produit des sinus des trois angles d'incidence de 

 gauche sera égal au produit des sinus des trois angles d'incidence 

 de droite. 



En effet, il résulte de la relation donnée entre les segments des 

 côtés du triangle primitif, que les transversales sont concourantes; 

 et comme par , construction , ces mêmes transversales passent 

 par les sommets de tous les triangles successifs de la série dé- 

 croissante, elles couperont leurs angles et leurs côtés de manière 

 que les angles partiels et les segments des côtés de chacun d'eux 

 jouiront des deux premières propriétés énoncées ci-dessus, comme 

 Jes angles et les segments du triangle primitif lui-même. 



Quant à !a troisième propriété, on peut la démontrer de la 

 manière suivante : 



Appelant 



D l'angle FDE ; E l'angle DEF 



D' l'angle EDA ; E' » FEE 



D'TangleBnF; E" » CED 



F l'angle EFI) ; 

 F' » DEC ; 

 F" » AFE ; 



