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RECHERCHES 



SUR LE CALCUL INTÉGRAL, 



Par M. D ' A L E M B E R T, 



CE S Recherches contiendront principalement la de'monftratîon Juillet 

 des Théorèmes imprimés dans le Volume de iy6j, que je '^ 9- 

 fuppofe qu'on ait ici fous les yeux ; je joindrai à ces démoniha- 

 tions, pluficurs autres propofitions & méthodes qui en réiiiltent, 

 pour l'intégration d'un grand nombre de quantités ou d'équations 

 différentielles : mais je rejetterai ces propofitions & ces méthodes 

 dans des Notes, que je renverrai par des chiffres à la fin du Mé- 

 moire, pour ne pas occuper trop de place dans ce Volume, 



S. I."' 



LeMMES pour la Jémonfiration des Théorèmes fu'ivnns. 



(i.) Lemme I."^ On fait que cof. ma -+- ^\x\.maV — i := 

 'fcoL a -\' dn. ay.V — l /"» & que cof. ma — dn.ma V — l 

 'z=. fcof. a — fia, ax"/ — ïj"" ; d'où l'on a cof. ma ■=. 



/cof. a -f- {in. a x / — i)" {co(.a — fin.ax / — i^" _ . 



' ■ ; & Cn. m a 



___ ^cof. a A- (in. a ■* ■/ — j)" — (cof. a — fin, a x ^ — :)" _ -pv p 



î /_ I 



il s'enfuit i ." que fi m efl: un nombre entier pofuif, & qu'on faffe 

 lin. a z=z X, & co''- a z=z V(i — x.\), cof. ma Si. fin. ma 

 feront exprimées par une fon<5lion fans divifeur, qui ne contiendra 

 d'autre radical que y'fi — xxj. z." Que la même cholè aura lieu, 

 fi m efl; un nombre entier négatif, puifque cof. — m a = cof. m a, 

 & fin. — ma zr=. — fin. ma, 3.° Que fi m e(l pair, cof. ma 

 ne renfermera que des puilTànces paires de x , avec un terme 

 tout confiant fans x, qu'on pourra fuppoler Ax". 4.° Que dans 

 le même cas fin. m a lêra z= x À" Vfi — x x), X na 

 renferrnant que des termes de la forme Ax", Bx'', Cx', &Cj 

 Mém. iy6^. JK. 



