84 MÉMOIRES DE l'Académie Royale 



Or c'eft ce qui léitilte en effet de la ruppofuion que i z=. o 



rende ti — a zzz v. 



Dcmotiflration du Théorème XXI IL 



(25).) Suppofant P -\- (lz=: a , difFéientiant , & mettant 



pour (J X & (i y iems propoitionnelles A' & M, on aura 



N^P AlriP NdQ MdQ_ ^ ^ 



— 1 1 _^ _^ ^1- — o. Or n 7 = o, 



. dx <1 j! dx dy ^ 



donne ;/ =: o ou z= « ; cette dernière cquallon ^'accordera avec 

 i équation ftippoféc P ~\- Q zzz a. Donc , &:c. (i i) 



Démonjlraûon du Théorème XXI V. 



(30,) Une équation différentielle quelconque, étant donnée, 

 on peut toujours aifément la transformer en une autre du -\- 

 2 dt =. Q , dans laquelle t =z o , donne //z= o. 11 en ferait 

 de même fi les différentielles éloient élevées dans l'équation à 

 telles puifîànces qu'on voudrait. 



En effet, i.° fuppofons que urzzr. a donne / z= h , 'A n'y a 

 qu'à fuppofer u — <z =: n , î — h zzr r' , & mettre dans 

 l'équation // -\- a au lieu de u , du au lien àt du, t -H b 

 au lieu de r, & di au lieu de dt. z." Si u ou /, ou toutes 



deux font infinies à la fois , il n'y a qu'à faire u zzn ~ Se 

 t = -j-, & fubflituer à la place de u , du, t , dt , leurs valeurs 



en i! , dii , t', dt'. Il efl donc vifible que dans une équation 

 différentielle on peut toujours fuppofer u z^ o lorfque / r^ o. 



(31.) On demande maintenant dans quel cas / ::=: o donnera 

 u z:=z à tout ce qu*o!i voudra. Après avoir penfé à ce problème 

 & trouvé une méthode poui- le réioudre , j'ai reçu le premier 

 volume dn Ca/a// intégra/ de M. Euler , Se j'ai vu que ce grand 

 Géomètre y avoit donné les principes néceifaires pour cet objet, 

 & m'avoit aind prévenu en grande partie ; mais il me fembfe 

 qu'on peut , à plufieurs égards , étendre ôc perfeéliouner fou 

 travail. 



