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Notes relatives au Mémoire précédent, 



( I ) On peut encore démontrer ces Théorèmes en confidérant que 

 fin. (na -\- a) = fin. « ^ cof. a -J- cof. n a fm. a = fin. 7lax ^r^i — x x) 

 -{- cof. n<*x X. D'où , en faifant fucceiïiveînent « = 1,2,3, ^'•" '' ^^ 

 aifé de déduire les valeurs de fin. 2.a , cof. 2 ^ , fin. 3 (7, cof. 3 «z , &c» 

 On peut remarquer encore que d (co(. p '"J, par exemple, = — pdv x 

 fin. f "^ , Si que d Cm. p V := p dv cof. ;? vi d'où il ell aifé de trouver 

 fm. p V, (\ cof. p V eÛ connu, & réciproquement. 



(2J On peut démontrer par ce moyen le Théorème précédent, en 

 mettant au lieu des finus & eofinus , leurs expreffions connues en expo- 

 nentielles imaginaires. L'intégrale toule ( Lem. 2 ir ^) fe réduira toujours 

 ■à ijne quantité de cette forme M -\- JV / — \, M à. N étant des 

 intégrales de fradlions rationnelles réelles; & fi l'intégrale totale doit être 

 réelle, il arrivera nécefîâirement que les imaginaires fe détruiront, & 

 qu'on aura iV = o. Mais la méthode de i'anicîe 6 eft plus fimple , & 

 par conféquent préféraWe. 



(j ) En effet , l'intégrale de — eft — 



gdic'^ 



(l-Y-a.)"" {m — ijf^-i-aj' 



-f / 2_i ; donc , &c. 



(^) La quantité Vd^ x ^^'^ ' poiirroit encore s'intégrer de 



la même manière quand même f contiendroit des expofans fradionnaire« 

 de "v , pourvu que ces expofans fraélionnaires euffent p pour dénomi- 

 nateur ; & dans tous ces cas , fi V étoit fans dénominateur, l'intégration 

 fe réduiroit au cas du Théorème I!I. 



(s) Voici encore deux Théorèmes qui font analogues à celui-ci. 



I. Toute quantité de cette forme x" dx (\og.x)'' étant fuppofée in- 

 tcgrable, toute quantité de la forme x'" dx ^log. x')'' l'eft auffi , r étant 

 un expofant quelconque, puifqu« (\og-x')'' = r'' (^og. x)'', A l'égard 

 de x" d X ^log. x)^ , fi on fait log. x 1=^ x, elle fe changera en 

 l,' di-Kc"^*'^ , dont l'intégration fe réduit à celle de d^d'^-^^K 



ïi ;» eff pOfitif, & à celle iç—/'"'^'^^ fi /> eft négatif. 



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