DES Sciences. n^r 



©■n voit aifément que ces formules pourroient encore ttre poufTces 

 plus loin , mais c'en el\ afTez pour mettre les Géomètres fur (a voie. 



Nous avons auffi donné <^aMs le IV.' toi. di nos Opufcules p. zj^- 

 ir fuiv. cr dans le V.' p. zj i èr ;og. d'autres différentieiles icduc. 

 tibles à des arcs de feélions coniques j ce qui ajoute beaucoup au grand 

 nombre de celles que nous avons trouvées dcins les Mém. de Berlin, 

 lie lyfô ir ly^-S. 



(p) On peut faire ufage de la méthode employée dans ces deus. 

 Théorèmes pour réduire en plu/îeurs cas la quadrature des courbes à des 

 intégrales connues. Si , par exemple , l'équation d'une courbe étoit tells 

 que :cx fut = Y-\.Y'^(a -^by^ cyyJ.Yô, Y' étant des fondions 

 rationnelles de y , il eft vilîble que fa quadrature fe rcduiroit à des frac- 

 tions rationnelles. Eors donc qu'on aura l'équation d'une courbe algC:- 

 brique en jr & en >- , on fera x — a -}- ë x' -]- yy' , & y — é ^ 

 %/ + 'Py' > & on tâchera de déterminer les confiantes a, b, &c. à 

 être telles que la valeur de x' x' en / ou At y' y' en a' donne'la qua- 

 drature de Ja courbe, ou aWolument , Oii.par.ksfradions rationnelles-, , 

 ou par les arcs de fcélions coniques. 



Soit, par exemple, l'équation du 3.' degré .v' -{- Ax'-y -f- B x y^ 



-}- Cy -{- G^= + Hf -t- Lxy -\. AIx + Ny ^ p ~ o. . 



Peft certain que fi l'équation peut fe réduire à h forme a.' .v'' -f Ç'x'W' 



+ ^^'y'' + -^y' + « y + «^y = o, Ja courbe fera quarrabfe 



par l'intégration des fradions rationnelles. Or, en fubftiiuant pour;r<?cj) 



leurs valeurs a -\- € x' -i- y ■/ & }, ^ . x' < „. „' «„ , 



' ^i''J''^''~r^^~rfy>on trouvera que 



pour que la transformée dont il s'agit en x' & y foit poffible , il faut 

 I.°que^' + Aa^b -{- Bb'a -f C b' ^ G a^ ^ H h^ ^ La b ^ . 

 Ma -^ Nb-{. F =z 0.2." Qu'on ait les trois équaiions/3 «-|-^^ ' C)- 



X -^-f C^Aa +. zBb + LJ~ + sCb+Ba.-^H^c, 



(la + Ab + CJ ~- + (zAa + zBb + L) ±- + ^Cb^-. 



B^-T- Hz=o; (6a-]r 2.Ab -\-zG) y-^ (zAa-i^z Bb-J^L)^ 

 (>i + e?; + (6Cb -h 2.Ba -\~ 2 NJpi =: o. Faifant donc 

 ^a + Ab -\- C = ^, Aa + Bb + — - ^^ ^(^^ _^ ^^ 



