ÏÎO MÉMOIRES DE l'AcADÉMIE RoYALE 

 conféquent feioient égales. Mais il faut remarquer que quand les diiTc- 

 rentielles premières de deux quantités variables diffèrent d'une quantité 

 infiniment petite du fécond ordre, ccft une marque que h différence 

 •des intégrales e(l finie: par exemple, les différentielles d y ■:=! a d X 

 & d y =: ,i d X -\- z X d X , ne diffèrent que d'une quantité infiniment 

 petite du fécond cidre , quand x eft infiniment petite ; cependant en 

 prenant x finie, les intégrales axàtax-^-xx diffèrent d'une 

 rfjuantité finie. 



(j i) Soit donc ip {P -\- Q. — ^) unefbnélion de P -f (2 — <t, 

 ,qui devienne = o quand P -{- Q. — a :^ o , (P &. Q. étant des 

 ■ibiiélions quelconques de x & de _i'^;jc dis que fi on prend iV St. Af 



/dP dQ_ \ _ /dP dQ ) ^ . 



tels que Nf— + J'J -i-Mf— + -^J fon = 



L<l> ( Pë-\- Q. — <^), L étant une fondion quelconque de PCt. Q_, qui 

 ne devienne pas infinie quand P-f Q_ — «= o; l'équation) Mdx 

 • — Ndy =:. o aura P -\- Q. = ^ pour une de fes intégrales. On 

 remarquera qu'une des deux quantités iV ou yî^ peut être telle qu'on 

 voudra. 



fj 2) Cette règle me paroît plus fimple , plus générale & plus rigou- 

 reufement démontrée que celle qui a été donnée par M. Euler dans 

 îe lavant Ouvrage que j'ai cité ; plus fimple, parce que je n'ai befoin 

 que de rinfpeélion des termes de l'équation & des expofans de t., 

 fans avoir recours aux fubflitutions & aux différentiations employées 

 par ce grand Géomètre ; plus générale , parce qu'elle s'applique aux 

 équations où d u & de font élevées à des puiffances quelconques, & 

 qu'elle peut même s'appliquer aifcment , comme on le verra plus bas , 

 à des équations différentielles d'un ovdre quelconque ; enfin plus rigou- 

 reufemcnt démontrée , non-feulement à caufe des réflexions que nous 

 avons déjà faites ci-deffus fur la théorie de M. Euler , mais encore 

 parce que ce grand Géomètre , après avoir remarqué & prouvé à fa 

 manière que t = o , rend u de valeur quelconque dans l'équation 



-d 11 = • , ( T étant une fondlion de t qui ne foit point = o , 



Tt' 



ni infinie quand r = o ) étend cctt€ règle fans la démontrer à toutes 

 les équations de la forme d u ^^ — n étant := ou > r -, 



/" A (u. :) 



,& A (^u , t) une fonélion quelconque de i- &. de t^ 



D'ailleurs 



