,124 MEMOIRES DE l'AcAD^MIE RoYALE 



îorfque î^ = o, fi « = ou > i. C'eft ce qu'on peut voir encore CH 

 conftiuifant la courbe dont les ordonnées t répondantes aux abfciflês u, 



foient = / — ;; — • ; c'elt-a-dire , proportionnelles à l'aire des parties 



de la courbe qui auroit pour abfcifles u & pour ordonnées — —. Cette 



aire cfl = o , lorfque u = o , comme on le fuppofe , &. pour lors 

 î = o; mais elle eft infinie, quelque petite que foit u; t e(i donc 

 infinie , quelque petite que foit u. D'où il s'enfuit que « =: o donne 

 / ::= à ce qu'on voudra , depuis zéro jufqu'à l'infini. 



A l'occafion de ce paradoxe , je prie le Leéleur de me permettre 

 ici une courte digrelTion fur un autre paradoxe analogue, dans lequel 

 l'infini entre auffu J'ai expofc ce paradoxe dans le ti^me 1 V de mes 

 Opufcules , page 6z , mais fans en donner de folution. Voici celle 

 que j'en ai trouvée depuis en repenfant à cette matière. Les Géomètres 

 en jugeront. 



Soit une hyperbole du 3.' degré , dont l'équation foit y — 



—• , & dont l'aire foit fuppofée = o lorfque x ^^ o ; le 



paradoxe confifte en ce que l'aire — • — de cette hyperbole, 



a — Il a 



prife par les intégrations ordinaires, efl finie & négative lorfque x>ti, 

 au lieu qu'elle eft réellement infinie &. pofitivc. 



Ce paradoxe aura^ lieu toutes les fois que j^i fera = ;;• , n étant 



pair & m impair, & étant > i i mais H n'aura point lieu dans 



les autres cas. 



Pour en trouver le dénouement, je fuppofe en général ;' = 9 (a — x), 

 & /jv d X ■=z fdx (p (a — X ) = 4 ( ^ — '^ ) — \ ''• Si A- eft 

 fuppofe = c , l'aire correfpondante fera ^ ( a — c) — 4*^5 &.fi m 

 eft fuppofe = c -\-c, l'aire répondante à cette abfciffe , & fuppofée =r o 

 quand A- = £• , fera -^ (a — c — c) — -i^ (a — c) , tn forfe que 

 i'aire tûtale répondante à l'abfciflë x -^^ c -\- c. Si. fuppofée z= o quand 

 X ■=:■ o , fera égale à la fomme des deux aires précédentes , 4 (a — c) — 

 '^ a , ti. -\- -if (a — c — c) r- jf (u — f),9* \ (t T. e — e ) -t 



