ïaS MÉMOIRES DE l'Académie Rôtalé 



Cil exade, au moins tant que x n'eft pas égal à ^, ii tft évident que 

 i'intcgrale rigourcufe & exacfle de ^ tant que x eu < a, eft 



; or cette quantité qui exprime l'aire de l'hyperbole , 



a — * a 



a évidemment pour limite . — lorfque .v = a; cette 



-(- o a 



limite infinie exprime donc évidemment l'aire de l'hyperbole lorfque 

 U =^ a. Suppofons de même x > a, l'intégrale exaéle & rigoureufe de 

 ou — ■ fera évidemment -f- . 



(a — :c)\ (x — ar 



ou 4" ' ^n fuppofant l'aire ^= o lorfque a- ■=.€> a; 



a — * c — a 



& la limite infinie de cette intégrale fera, lorfque e =^ a, • -\ » 



X—— a o 



limite qui repréfente évidemment l'aire infinie répondante à jr — a 



finie & û petite qu'on voudra ; quoique cette aire foit nulle quand 



X ^^ a. 



En troifième lieu , /i on veut admettre cette métaphyfique précaire de 



regarder dx comme infiniment petite en elle-même , & cependant comme 



infinie par rapport 3. (a — x)' lorfque x 7=z a, cette quantité (^x peut 



aufli , lorfque x ^^ a, être regardée comme infinie par rapport à <z — x, 



dans les expreflions & ; cependant le paradoxe 



^(^ — x) (a — V' 



n'a plus lieu dans ces deux cas , & on trouve alors la vraie valeur de 

 l'aire. La folution que nous examinons ne paroît donc pas cxacle, & nous 

 croyons devoir nous en tenir à celle que nous avons donnée. 



Nous remarquerons à cette occafidn qu'on auroit tort de croire le 

 Calcul différentiel en déftut , dans certains cas où il paroît Fêtre. Soit, 

 par exemple, = jr" , Sl d 1 = mx"'~' dx; il femble que par les 

 règles du Calcul différentiel , cette féconde équation ne foit vraie que 

 dans les cas où dx peut être fuppofée infiniment petite par rapport à 

 •te i d'où il s'en fuivroit qu'elle ne l'efl pas lorfque a' = o. Pour lever 



cette difficulté, on confidcrera, i.° que l'équation — — =: mx''~-.'^ 



dx 



qui repréfente (article DirrÉnENTiEL de l'Encyclopédie) la limitedu 

 rapport de d'i'^ du , eft exai^ement & rigomcufement vraie, tant 



que 



