140 MÉMOIRES DE l'Académie Royale 



au précédent multiplié par J— , /j. étant le numcrateui- de la fiaéliotr 



o 

 qui exprime ce rapport. Donc ''lors ce coefficient pourra être fuppofé 

 ou zéro, ce qui ne donne point de nouveaux termes à la fcrie ; ou 

 jndéterminc , ce qui donne une nouvelle férié illimitée. L'équation 

 indiquée par M. de la Grange dans les Mémoires de Turin, tmne lll; 

 ■pages I S- t^ iSS , peut tomber dans ce dernier cas , & j'ai cru que cette 

 remarque , qui n'a point, ce me femblcj été faite encore, ne paroîtroit 

 pas inutile aux Géomètres. 



II eil à remarquer encore que & ne fau» 



roient être à la fois des nombres entiers pofitifs j d'où il s'enfuit que, iî 

 dans le cas , par exemple , de r =; o , un des termes de la féric 

 devient infini , il ne ie fera pas dans fe cas de r = l — û , & récipro- 

 quement. On fe fervira donc de 1 hypothcfe où aucun des termes de 

 Ja férié n'cft infini, s'il airivoit qu'il fût infini dans une des deux. 

 Il cfl aifé de former une équation difltrentielle du troifième ordre , 



I - I.- • <^' > , b i? dy , a d y 



analogue a 1 équation. -\- -p -f- 



d x'' d X X d X 



e yx^~^ ■:=: Q , Si. qui s'intègre de la même manière par une férié finie 

 en certains cas. On peut même étendre cette méthode à des différen- 

 tielles d'un ordre plus élevé. Mais ce que nous en avons dit fuflfit pour 

 ouvrir la route à ceux qui voudront aller plus loin. 



(2j) Si dans l'équation différentielle donnée, — ^ monte à différentes 



d X 



puilTances; alors nommant — i- , Q, on aurolt une équation entre Ç,x,)>; 

 dx 



on auroit de même (art. Si) une équation entre C,S , x, y; d'où 



l'on tirera par les métiiodes connues , une équation linéaire de £ en 



C, x,y. On mettra cette valeur dans l'équation entre C , C, x, y, & 



on aura une équation entre C, x,y, qui, avec l'intégrale donnée, 



fervira à trouver là valeur linéaire de C ; d'où l'on aura celle de C ou 



dy 



-— — , & l'équation finale devra être identique. 



Quand même Ja quantité <p(x,yj = o qu'on fuppofe exprimer 

 l'intégrale abfolue, renfermeroitdes expreffions algébriques tranfcendantes, 

 on pourroit toujours parvenir , par la même méthode , à l'équaticn 

 C=^A(x,yJ, 



