ipS MÉMOIRES DE l'Académie Roïale 



dant les fériés divergentes comme de taLiflès exprefîions d'une 

 fondion à qui on a fuppofé une forme qu'elle ne pouvoit avoir, 

 on pcLit laiis inconvénient les employer dans les lolulions des 

 Problèmes en déJuifant enfuite de la loi qu'elles fuivent , la fonc- 

 tion qu'on y aura été égale. Mais il ne fufîrt pas que la férié 

 fourniîre une (olution du Problème propofé , il faut ejicoie que 

 cette fokition piiilfe repréfenter toutes celles du Problème. Je vais 

 donc comparer ici les folutions par les fériés aux fokitions dira^es 

 dans ce qui en concerne l'étendue. 



J'examinerai cette matière, ï.° pour les équations finies; 

 2° pour les équations différentielles. 



i.° Si j'ai _y égal à une fuite de puiffmces rationnelles des 

 variables , celte fuite ne donne qu'une \aleLir de y pour chaque 

 valeLir de .v , 7, &c. en forte que fi le Problème efl tel qu'il 

 doive y en avoir plufieuis , les coèfficiens des premiers termes 

 feront donnés par des éqiiations qui auront un pareil nombie de 

 racines , 8c les termes fuivans feront une fonclion rationnelle 

 des premiers ; en forte que la férié préfentera des valeurs difcon- 

 tinues , tandis que l'exprefïïon réelle les donne continues , il y 

 aura des angles finis, au lieu d'une courbe continue; & qu'ainfi îî 

 la ferie efl; convergente , la valeur de y qui en naîtia , différera 

 très-peu de la vraie valeur , quant à la giandeur , mais en 

 différera pour l'expiefTion. Il y a des cas où cela eft indifférent, 

 d'autres où cet inconvénient efl réel , loifau'une feule racine de 

 i'équation doit fêrvir à la même folution dui Problème , il efl 

 indifférent que l'expreffion des deux racines fuive ou ne fuive 

 pas la loi de continuité ; mais fi une folution unique embrafîè 

 fuccefTivement diverfes racines , il faut qu'elles aient une expreffion 

 commune, fins quoi la foLition feroit illufoire. Ainfi le mouve- 

 ment d'un coips qui fe meut dans une ellipfe dont l'équation 

 efl donnée par une équation entre l'abfcifîê & l'ordonnée, ne 

 peut pas être cenfé fè mouvoir dans les deux courbes para- 

 boliques difcontinues entre elles ,qui donnent les valeurs appro- 

 chées de chaque valeur de l'ordonnée. Il faut donc , lorfqu'on 

 veut employer une fcrie convergente à la folution d'un Problème, 

 cjue claque valeur de la férié ait l'étendue de la folution complette 



