io8 MÉMOIRES DE l'Académie Royale 



contenir y dans (on dénominateur. Il en fera de même de lequa- 



tion dont l'intégrale contiendroit (IX)\ (IX)^, (i X)'' ' 



en forte qu'en général pour ce cas de l'intégrale, on peut fuppolèr 



que le fa(!-leur ék. A , A -4- By -\- Cdy , .. 



A -^ By -^ Çdy. . .-+- Af -H Bydy -+- Cdy''. . .'] 

 & ainfi de fuite jufqu'au degré n. 3.° Si riiitégiaie contenoit 

 'ÏXIX qui demande trois différenciations , on ti-ouvera de même 

 deux intégrales linéaires de l'ordre // — i , & une du fécond 

 degré, ce qui donne deux fadeurs A Si. un A -+- By -1— Cdy .. . 

 en forte qu'en général, lorique l'intégrale ne contient qiie des 

 produits de logarithmes au numératem- feulement , on peut fup- 



pofer le facteur A -\- Bdy -^ Cdy -4- A' y'' -H 



B'ydy H— Cdy' . . .--i--A"y^ . , . julqu'au degré «, une des 

 valeurs au moins de B, C. . . .étant zéro, deux au moins des 

 ■valeurs tles A' , B' étant zéro , trois au moins des valeurs des 

 A" ... étant zéro , & ainfi de fuite , les quantités B ...A ...A" . .. 

 font algébriques. 4.° Si on multiplie par A l'équation a y -\- 

 Idy -h- cd' y . . . .-+- X z=z o, on a A par une équation 

 de l'ordre /; & /;, valeurs de A, qui donnent les intégrales de 

 ja propofée. 



Je vais donc chercher maintenant les moyens de trouver A 

 en généial , & enfuite y, & pour cela je lemarque qLie l'équation 

 qui donne A efl toujours de la forme 



a A -t- b'dA -H c'd'A -i- ^/'d'A =1 o; 



Se que fuppolànt que j'en euffe l'intégrale, 



A = nA' -i- A' f(n'A" -f A" /(nA" + A"' f(n"A"" -f A"". . .] 

 & ainfi de /îiite. Je pourrai faire n m o, le refle de la valeur 

 de A fera alors un fadeur, & par conféquent 11 A' en fera un 

 auffi. Cela pofé, il eft clair que A peut ne pas contenir d'ar- 

 bitraires , Se par conféquent point d'autre tranfcendante qu'une 

 exponentielle ; en effet , fans cela , fuppofint d'abord l'équation 

 du iêcond ordre ti A H- Afii'A', valeur complette de A, 

 contiendroit plus de deux arbitraires, ce qui efl impoffible; & fi 

 en donne à tiA une valeur qui contienne deux arbitraires, alors 

 Jcs trois qui fç trouvei'oient dans m A' ^ ji'A/A", fe réduiront 



à deuXj 



