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à-^eux, 8c par conféqiient il y aura une autre valeur de a A' 

 qui ne contiendra qu'une arbitraire. Ou fera !e même raifonne- 

 rtient pour les autres ordres, & on en conclura en gtncVal que 

 quel queloit l'ordre de l'équation, on pourra faire Ac -+- cJA zzz o, 

 f étant algébrique. 



Mais lorlque la propofée ne contient pas de radicaux, c peut-if 

 en contenir , & quels doivent-ils être ? Il efl clair qu'en géiiérai 

 c doit être rationnel, &. qu'il n'y a que certaines déierminations 

 des coëfliciens de x dans c irrationnel qui puiflènt faire évanouie 

 ces irrationnalités , & il y a de telles déterminations ; en effet , 

 le principe général que toute équation différentielle iiins radicaux , 

 ik où les plus hautes différences font à la piemière puiflance, a 

 un fafleur rationnel, n'a point d'application ici; parce que dans 

 fes équations au-defïïrs du premier ordre, ce facteur rationnel peut 

 Relre jms fonclion de .v feulement. Pour le prouver, foit pour le 

 fecond ordie F -+- N zzz o Se V -\- N' = o , ies inté- 

 grales du premier ordre d'une équation propofée, différentiant une 

 fonélion quelconque de ces deux intégrales, on aura Bc/V -H' 

 B'dV z=i o, 8i. appelant A le fadeur qui a rendu la propofée 

 égale à riV, & A' celui qui l'a rendu JV, on aura BA -\- B'A' 

 pour le faéleur général de la propofée; & comme B & B' font 

 des fonctions quelconques de K & F' , avec cette condition que 



■jjTT = -^. il peut k taire que ^ &: ^ ctant rationnels, 



& contenant 7, B A -+- B' A\ foit irrationnel & lâns y. Poui- 

 en donner un exemple, foit l'équation y" -}- ay"'~' -+- 

 by -+- cy K . . .-fr- (j :=i o, on a, h, c. . . .q font 



des fondions de .v; je dis que différentiant & faiiànt Jx 

 confiant, j'aurai fuccefîivement les équations rationnelles 



/'^/ 77 + «;' -+- oy -H y =: o, 



(^J^;r -h-a -~- -^ l>y _j_ ^" _ o^- 



'> . .. -^""y 1 '/• 



dx"' - ' 



■ 1. = o>' 



& enfin ^MJ "—^ + a. ^ -t- ^. 



dx dx 



1^ ^'' ^' y'. «". y, .... q", . . . « , b^, ... y, étant des 



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