'j2io Mémoires de l'Académie Royale 

 fonclions' rationnelles de x). En effet, difFeientiant la propo/ee,. 



fubfliîiiant dans l'équation {AJ la valeur de -~ qu'elle fournit,, 



faiiânt évanouir le dénorninateur, & fubltituant pour ^y", ^y'""*" . .,; 

 leurs valeuis tirées de la propolée, j'aurai une toncflion Ay"' — t— 

 ^y'" - ' . . . _^_ (2 , telle que A = o, B =m o . . .Q = o. 



Or ces équations font au nombre de m, le nombre des coëffi- 

 ciens a, U . . .q e(l aufîi //;, & ils n'y ejirent que fous une 

 forme linéaire; donc, &.c. On trouvera de même en prenant 

 deux ditïérentielles fucceffives de la propose, des valeurs ration- 

 nelles pour les a , b" . . . .<]"', & niiifi de luite jufqu'à ce qu'on 

 trouve également des valeurs rationnelles pour a^ h^., . q . Suppolant 



maintenant que i aie a -, „ _ - -+- , „_ , . . .q -^ I\z:z o^ 



*• ' " u X d :i ^ -' 



pour une des intégrales , qui étant différenciée «Si divifée par 

 une fonélbn de a-, donne l'équation propolée; il eft clair que 



a b„....q„ doivent avoir un nombre m — i de valeurs algé- 



briques, pour que, en éliminant fes différences fupérieures, la 

 valeur de y qui en réfulte (oit la racine de la propolée ; donc 

 c doit contenir des fon(flions irrationnelles, parce que lans cek 

 la racine ne contiendroit que des radicaux fimples, ce qui n'eft 

 pas vrai au-de(îiis du fécond degré. 



Sachant donc que A peut contenir des foncflions irrationnelles, 

 j'obferve i." que les radicaux contenus dans c ne peuvent être 

 d'un degré plus élevés que l'ordre de l'équation : en effet , chaque 

 valeur de c donne une intégrale différente, & fi les radicaux 

 étoient d'un ordre plus élevé , c auroit plus de valeurs qu'il ne 

 doit y avoir d'intégrales. Je dis que c ne contient pas de radicaux 

 plus élevés cjue l'ordre de l'équation , & non pas qu'il efl donné 

 par une équation d'un degré égal ou moins élevé, parce qu'il 

 fuffft que c ne donne pas un trop giand nombre d'intégrales difîe- 

 ventes, ce qui n'a lieu néceffai rement que dans le premier cas. 



J'obferve 2.° que s'il y a dans une équation propofee un 

 radical qui ne fê trouve pas fous un autre ligne radical , & 

 qu'ayant différentié cette équation, je veuille que ce radical 



