DES Sciences. h^ 



V ,y,dx, dy , différentielle exacte qui devienne _y d x , iorfoue 



dy =^ — ——■ ■ J'ai traité ailleurs de ce Problème ; je 



remarquerai feulement ici que MÇmtfydx zzz X -^ Ay 



H- By' --1- Cy^ & ^/y =z a -+- by -^ cy\ . . , ^ 



A. B, C. . .A' étant des fondions de a- de même que a,b,c . . . 

 ce qu'on lait pouvoir toujours fuppofer après une fublliuiiioii con- 



venaole, j'aurai les équations A^iz — -^ , B zr ~^'^ — '^-^-^-j 



& ainfi de fuite; ce qui me donne la férié X-^ Ay-+~ By' 

 au premier terme près; différentiant cette férié,' le terme qui 

 multipliera dy & celui qui miitipliera <r/A-,Teront des fériés lé- 

 currentes, & il reliera à déterminer par cette condition le terme X 

 qui ell auffi une férié récurrente. Au relie, le cas de X = à 

 une coudante doit être examiné le premier, & peut-être même 

 cette fuppofition efl-elle générale. 



Si la quantité;- a m valeurs très-petites, ou que je ne veuille 

 négliger que des tei-mes de l'ordre /" , j'aurai me équation de 

 i'onlre n & du degré m. qui ne contiendra que des puiffànces 

 rationnelles & entières de 7 & fes diffcrences, <x où d" y ne 

 iêra qu'au premier degré. La fonction qui multiplie (fy tiï du 

 degré m— i, celle qui n'eft pas multipliée par d"y lIu degré w, 

 & toutes deux de l'ordre « — i. Suppofons qu'on ait une 

 différentielle exacle du même ordre & du même degré, & telle 

 qLi'elle ne diffère de la propofée que des termes du degré ,,1^1 .. . 

 il eff clair que cette hypothèfe laiffe, pour remplir les condition*» 

 qui font néceffàires pour que la fonclion foit réelleinent uns 

 différentielle exaéle, autant de coéfliciens qu'il y a de termes 



dans une fonélion de l'ordre « _ i & du degré m i • or 



ce nombre eff fuffîfant. En effet, il eff clair i." qu'une fonéîioii 

 rationnelle & entière A& y & de ks différences, n'eft une diffé- 

 rentielle exacle, que lorfque chaque rang de la fonaion ordonnée 

 par rapport à y, k trouve l'être auffl. 2.» Que pour que /iZ h- 



'X rai~t< ^i^ "^ ^'^'^- • •^°'' ""^ différentielle exaéle, 

 Jl liiffit dune feule condition. 3." Que par celte raifon, f, j'ai une 

 iondion homogène de ;- & de fes différences, qui doive être uiie- 



