ilO MÉMOIRES DE l'AcaDÉMIE RoYALE 



Soit a + é X + i'y + i"i -{- c x' -{- c'xy + c"y' + c'"x l-\- c'^ yc 



+ c" j' -{- ( m, n, p) x' y" i' ■=. 



K 



^ -H 5* -H O -t- Di -H <2*"'y c" 



où p. eft une fondion rationnelle entière Si finie des variables ; 



èi. A, B , C , Q, des confiantes. Il eit clair cjLie ioiique 



m > m, n > n,p >p, & que le terme x^ y" -^ ne (e trouve 

 plus dans P, on a en général A (m, u,p) h- B (m — i , n,p) -j-, 



C (m, n — \, p) -\- D (m, n , p — \) H- (2 



^m — m , n — rî, p — p ,) = o , où je déiigne en général 

 par (m , n , p) le coefficient Ar^^y" ^^ ; dans la -férié, on aura 

 donc le coefficient (m , n , p) donné en général par une équation 

 linéaire d'un nombre de termes fini indépendant de la valeur de 

 VI, n, p, & égal à celui des termes du dénominateur, & fi 

 on connoît la loi d'une (érie , qu'elle foit donnée par une équation 

 pareille, & qu'on cherche la valeur des coëfficiens du dénomi- 

 nateur de la fondion que cette férié repréfente, on aura en 

 général le coefficient de x"" y"' q'" dans le dénominateur égal 

 à celui de ( m — m , n — n, p — p ) dans la loi de la 

 férié ; cette théorie n'a pas plus de difficulté que celle des fuites 

 récurrentes à une feule variable , 6c quel qu'en foit le nombre, elle 

 peut s'y appliquer également. 

 Je fuppoie que j'aie une foniflion 



A'-^By^Cy'^ -i- (M — i) y'-' , 



• — ; Tir 7n tt; „ . / que de plus 



A' -^ By -\- C'y' + (M — ij' y — ■ "1 r 



j'aie une éqLiation^y'" ::=. (m — ^) y" ~~ '' -H (m — -i,)y" ~ ' 



^„i — ^)y'^-^ ^aA,B,C, . . .(M~i);A,B'.C' . . .^ 



fAÎ — i/, fm — ij Cm — 3 j a font des fonc^tions 



rationnelles , entières & finies de x. Je réduis cette fondion eu 

 férié de la forme. 



(o)"-^ (i)" y-^ (x)"f -^-(M— i/V" - ■ les 



fondions (o)", (i)" , (z)" (M — i/' étant des 



dites infinies en x. Je multiplie cette férié par le dénominateur ; 

 mais avant que d'en développer le produit , il me faut cherche» 

 quel eft le coefficient de y'' dans y'"'*'" après qu'on met à la 

 place de f fa valeur (m — î) y"l rt-^{m — ^Jy^ •"'.... .j 



