224 MEMOIRES DE l'AcADÉMIE RoYALE 



Et comme A fe trouve à tous les termes du numéiateur & ivi 

 dénominateui' , ia foruflion cherchée fera 



î I I 



î H * -t- ('3 -t- ^') ^(i -+- x) 



I I 



2 -H ï * -H ('i -4- *; vf 3 ■+■ x) 



Telle efl: la premièie méthode ; voici la féconde : j'ai d'abord 

 2 n H— tî — n" qui , fuivaiit la théorie connue , à caufe des 



premiers termes i H— x . . . donne la fonflion — ^ ^ ' , : 



J'ai enfuite p -+- p H— n — l— //" = o , & à caufe 

 de p —I- p H- «" -+- «'" = o , & de 2 «' — H- 

 h" — «'" nr: o, 2. p —H //' — y = o.d'où, à raifon 

 des trois premiers termes i -}- x — 3 x' . . . j'ai la fonélion 

 t -4- ; » — — « — _ j^ fondioii totale (êra donc ~ LlZI — ^ 



Z-t-AT ï' 2-+-* Jt' 



— t— -î :^ — i , ronction qui elt la même que ci- 



deffus , en multipliant ie numérateur & le dénominateur par 

 2. -^ ^x — (i -\- x) V(y -H ^x). 



De ce que toute fonélion algébrique àe x &i. àt y , lorfque^ 

 efl: donné par une équation y" rm (m — 2) y'" ~ * — h 

 (m — 3^ ;''" ~" ' . . . fe trouve être de la forme A -\- By -^ 

 Cf -+- £>/-+-... Qy'"-' ,ouA,B.C, D... Q font 

 des fondions égales à une férié récurrente ; il eft aifé de voir 

 que j'ai à intégrer une fonélion fèmblable de Af & de y, je 

 pourrai toujours m'affurer fi elle a une intégrale algébrique , & û 

 elle en a une , la trouver par la fomme d'une férié récurrente ; 

 en effet, quel que (oit l'intégrale, pourvu que j'aie fait la fubfli- 

 tution de x •+- g , afin d'avoir un terme confiant dans toutes 

 les fonctions ; j'aurai cette intégrale de la forme A' -+- By' -h- 

 Cf... -+- Qy"'-[ A', B.C, ... (2' étant des 

 fériés , & il faudra pour que la propofée foit algébrique , que le 

 coefficient de x^ dans chacune de ces fériés , dépende d'un 

 nombre fyii de termes pris dans toutes les (eries indifféremment; 



alors 



