312 MÉMOIRES DE L'ACADÉMIE RoYALE 
cette fonction, on la retranchera de la fonétion, on intégréra 
le refte par rapport à x, & on l'ajoutera à la valeur de 2. Si 
la variable ne fe trouvoit pas dans } — dB, la fonétion à 
ajouter à l'intégrale ne pourra être que a x”. On trouvera Z7, 
B', &c par la même méthode; & fix ne fe trouve pas dans 
les quantités à ajouter ne feront que 
ax + Vx, ax? + b'x + cx', & ainfi de fuite, 
REMARQUE ‘IV. 
Lorfque les différences font infiniment petites, fr les plus hautes 
différences font fuppolées fous une forme linéaire, on peut, en 
fuppofant que A ne les contienne pas, tirer des équations iden- 
tiques pour que AV foit une différentielle exacte des équations 
de conditions où À ne foit pas, fans faire } — o , cela n'a de 
difficulté que la longueur du calcul; on le pourroit même fans 
avoir réfolu l'équation, par rapport aux plus hautes différences, 
ni examiner même fi elle eft réfoluble; enfin, on peut même fans 
connoître Z,& quoiqu'il ne contienne pas les plus hautes puiffances 
fous une forme linéaire, trouver de même ces équations, & par 
conféquent on pourra les trouver pour que Fait une intégrale finie, 
fans connoitre les intégrales intermédiaires & fans faire F — 0; 
Von n'entre point ici dans le détail de cette folution que perfonne 
n'a encore donnée, parce que ma première fufhit. J'obferverai 
feulement, au fujet de celle-ci, qu'elle eft fondée fur cette remarque 
y . 711 ml A: 
générale, que {oit a d'y + bd"x + c — o, l'intégrale 
d'une équation de l'ordre # la différentiant un nombre 7 — "1 
de fois, & fubftituant dans l'équation de l’ordre » les valeurs de 
d'y, d"—'y...4"y, ürées de l'équation ad”y + bd"x + 
ce — o & de fes différences, l'équation qui en réfute, & 
qui ne contient que des différences partielles de a, à, « doit être 
identique, & telle que les coëfficiens des puiffances des différences 
de x fupérieures à d” x foient nuls identiquement; ce qui donne 
le moyen d'avoir des valeurs des différences partielles de a,8,c, 
& par conféquent les conditions. On doit ici néceffairement fup- 
pofer que le faéteur à éliminer ne contienne pas la plus haute diffé- 
rence, fans quoi les équations finales feroient toujours identiques; 
