426 MÉMOIRES DE L'ACADÉMIE ROYALE 
étant multipliée par un faéteur de lordre inférieur d’une unité ; 
ne doit contenir d’autres radicaux que les racines d'une équation 
d'un degré égal à l'ordre de l'équation ; chacune de’ ces racines 
donnant une valeur du facteur, & pouvant être fous un figne radical 
fimple, rationnel & indéfini, ou bien la racine d'une équation 
d'un degré plus élevé d'une unité : la même chofe a lieu pour 
les équations aux différences finies ; mais comme toutes les inté- 
grales y font algébriques, où que du moins les tranfcendantes 
n'y peuvent contenir de radicaux , on peut prouver que fi on 
difftrentie une équation propofée & qu'on cherche à intégrer la 
différentielle, aucune de fes intégrales, du même ordre que la 
propofée, ne doit contenir de radicaux. Soit én effet une 
fonction rationnelle de variables, de leurs différences, de Fefx, & 
de F'ef*, je tire des deux équations F& V + AV, Fef*, 
égale à une fonction rationnelle des variables & de 7” efx ; j'appelle 
À cette équation ; je fuppofe maintenant qu'ayant fait difparoitre 
Fef*, à l'aide des deux mêmes équations, celle qui en réfulte 
{oit telle que j'aie F’ef*, égale à une fonction rationnelle. IL eft 
aifé de voir que fi je fubflitue la valeur de Fef”, qui en rélulte 
dans l'équation À, qui contient F'ef*, j'aurai F'ef” aufli égale 
à une fonction rationnelle ; donc toutes les fois qu'un faéteur peut 
être fuppolé fans radicaux , les autres le pourront être; donc, 
lorfqu'on a différentié une propolée fans radicaux , tous les fac- 
teurs pourront être rationnels. e 
On pourroit objeéter ici que les deux équations defquelles on 
veut tirer une valeur rationnelle de Fef*, peuvent fe réduire 
à une feule où Fef”*, foit au fecond degré après qu'on aura mis, 
au lieu de F'ef*, fa valeur; mais on obfervera qu'ici les inté- 
grales doivent être trouvées fans être déterminées, plutôt pour une 
des racines de l'équation au facteur, que pour une autre, puifque 
l'équation différentielle eft pour toutes à la fois; donc fi on 
a Kef* par une équation du fecond degré, fes deux racines 
feront deux intégrales de la propofce , ayant lieu en même temps; 
donc étant toutes deux algébriques , leur forme ou leur produit, 
qui eft rationnel , fera aufli une intégrale ; donc, &c. 
On peut démontrer la propofition ci-deflus , indépendamment 
