Das Sol EN CES 127 
de ctté confidération générale : en effet, appelant A l'arbitraire 
ui n'eft donnée que par une équation non linéaire, par exemple, 
du fecond degré, & M l'arbitraire qui eft donnée par une équa- 
tion rationnelle, je prends une des deux valeurs de W, je la. 
différentie; & fa différence, qui eft de l’ordre » — 1 & qui 
contient A7, devient nulle lorfque je mets pour 47 fa valeur 
rationnelle. La même chofe a lieu pour fautre racine; donc fi 
on piend leur forme, ou elle fera nulle par elle-même, ce qui 
donne /V* égal à une fonction rationnelle, & par conféquent une 
intégrale fans radicaux, ou bien fa différence deviendra nulle en 
y mettant pour /7 fa valeur : donc fi je prends la différence de 
cette forme, qui eft rationnelle, en y fuppofant 42 variable, 
jaurai 1.° une fondion fans A 7, qui deviendra nulle, en 
mettant pour 7 fa valeur. 2.° Une fonction multipliée par A 47; 
donc fi je différentie cette forme après y avoir fubflitué pour 44 
fa valeur F, elle deviendra nulle quand AM — 0; donc 
jaurai une différentielle exacte , rationnelle qui aura lieu en même 
tems que A; donc, &c. 
11.° Ce que je viens de dire, fuppofe que appelant A7 & N 
deux des arbitraires de la propolée, je puis toujours avoir A 
& M égales à une fonction en termes finis des variables & de 
Yordre » — 1, or cela n'eft pas vrai en général. En effet, foit 
V + XX une intégrale où X eft une fonction de x, il eft 
aifé de voir, comme je l'ai dit dans les notions préliminaires , 
que © X peut être toujours exprimé, du moins par une férie in- 
finie; mais fi! ZX ne pouvoit être exprimé en termes finis, alors: 
fi j'ai une équation qui contienne une arbitraire 47 fous ce figne- 
d'intégration, & que A foit l'arbitraire ajoutée à ZX, il eft clair 
que je ne pourrai avoir une valeur de 47 fans A fous une forme 
dégagée du figne X; par conféquent l'intégrale d’un ordre immé- 
diatement inférieur peut contenir ZX, X contenant des radicaux, 
quoique x’ né‘{oit dans la propolée que fous une forme ration- 
nelle, & qu'on puifle avoir une différentielle exacte rationnelle. 
I eft vrai qu'alors le radical ne peut contenir que des x’; en effet, 
sil contenoit d'autres variables, il eft aifé de voir que prenant le 
fomme de toutes les intégrales données par les valeurs du radical. 
