154 MÉMOIRES DE L'ACADÉMIE ROYALE 
de "1 + 1 équations de l'ordre #<n eût fait évanouir, 
eft aifé de voir que fi lon veut que ces fonétions ne paroiffent 
plus dans les équations des ordres fupérieurs , il faut regarder 
toutes ces équations comme produites par la feule équation de 
Yordre #, qui ne contient aucune des # fonétions arbitraires 
ainfi, par la même raïon que ci-deflus, elles ne pourront faire 
difparoître que # — m", fonctions arbitraires. Si une des diffé- 
rences /efl totale, & que l'autre feulement foit partielle, le nombre 
des fonctions arbitraires ne pourra être plus grand que l'expofant 
de l'ordre des à dans la propofce. 
Soit Æ une fonction arbitraire de ®, & F° une fonction arbi- 
traire de @', une première différentiation aux différences partielles 
ous donnera trois équations & quatre inconnues ; & deux diffé- 
rentiations nous donneront fix équations & fix inconnues, à 
da F ddF ; . re 
caufe de WT à & re elles contiennent; donc en général, 
on ne peut point fuppofer que les deux différentiations aient fait 
difparoître les deux fonctions , à moins que l'on n'ait dans l'intégrale, 
avant les différentiations Æ" + Æ, fans que F s'y trouve 
d'ailleurs ou qu'il entre dans /@'. Si on différentie trois fois, 
on aura huit quantités à éliminer & dix équations : ainfr en gé- 
néral, on peut toujours dans ce cas éliminer deux #; mais 
sil y a trois fonctions , on voit qu'il y aura douze quantités à 
éliminer ; &'qu'ainfr, au lieu de trois fonétions en général pour 
le troifième ordre, on ne peut fuppoler que trois fonétions avec 
deux conditions, comme d’avoir dans l'intégrale F + F" + F", 
Cependant toute équation aux différences partielles du troifième 
erdre, qui ne contiendroit que deux F, ne feroïit formée que 
par la comparaïfon de neuf équations au lieu de dix; & il y 
auroit toujours une équation plus élevée, mais qui ne contiendroit 
pas de différences 9, au- deffus du fecond ordre qui auroit fa 
même intégrale que la propofée. Ainfi généralement l'intégrale 
d’une équation du troifième ordre, qui en a une complete, doit 
contenir trois fonétions arbitraires, mais ces fonctions ne peuvent 
y entrer d’une manière quelconque. 
5+ J'ai fuppofé que l’évanouiffement de ces fonctions étoit 
