616 MÉMOIRES DE L'ACADÉMIE ROYALE 
d'une manière quelconque; il eft clair que f: P', P", P” font 
tels que faifant P°Z° + P'Z" + P"Z", &c. + Z, 
l'intégrale d'une équation du fecond ordre, on ait BZ'dP’ 
+ CZ'dP + Do(L'oP) + Ed(L'doP) + 
DoZ'oP" + EdL'DP" + Fd/[L'dP) + FdZdP, 
fans tranfcendantes, cette forme conviendra aux équations du 
fecond ordre. 
Or cela peut arriver, quoique ?” contienne des tranfcendantes, 
& il peut y avoir un nombre indéfini de ces fonétions ?’. 
Maintenant fr l'on examine l'ordre des tranfcendantes qui 
peuvent entrer dans chaque Z'P”', on verra qu'il eft égal à 
HIX 1 + 2 
— ‘1, celui de l'ordre de l'équation étant »; 
2 
en effet un plus grand nombre de ces fonétions ne peut s'y trouver 
fans qu'il y ait des fonétions arbitraires nouvelles, ce qui rentre 
dans la recherche de la fonction Z, 
II. Dans le Mémoire fur les différences finies, je n'ai confidéré 
de tranfcendantes que celles qui viennent de ce que x devenant 
x + Ax,on a f — #f, f défignant la fonction tranfcen- 
dante; mais il y en a d’autres dont j'ai parlé dans ma Lettre 
à M. d'Alembert, ce font celles qui viennent lorfque x deve- 
nant x + Ax, f devient f”, # étant rationnel. Ces fonctions 
peuvent entrer dans les intégrales; voyons donc quelle en peut 
être la nature. 
: 5 ax 4 
Si on a une fonction e Ve”, & que x y devienne x + A», cette 
fonétion devient eVe*e%%*. donc fi e«A* eft un nombre ra- 
tionnel, on peut en comparant l'intégrale Z & la différentielle 
AZ ou Z + AZ, faire évanouir cette fonétion. La quantité 
arbitraire eft NV; donc fi une équation propolée contient cette 
. . 4 . * 
fonction dans fon intégrale; il faut que fi on a Z = ee 
Rte RER TARN VE IZ 
n ait = AN, ou différ EE  — 
0 = , ou différentiant, Er a 0, 
Z+AZ M «T . 
où 75 — = 0, & cette quantité eft une différentielle 
a 
exxte; 
