'388 MÉMOIRES DE l'Académie Royale 



Remarque Jingiilùre fur la coîiJition de ^p^ -\- irjq' -—i o. 



(27.) L'équation (4) du J. ^^ donne lieu aune remarque 

 aflêz fingulière fur la condition de 4/»' -f- 27^^ ^=z o. On 

 fa.\oh bien que la condition de 4;)' -i- 27^" :=r o a lieu 

 lorfque deux des racines du troifième degré paflent du réel 

 à l'imaginaire; mais on ignoroit, ce me lemble , que cette 

 condition a lieu dans une autre circonftance. En effet, puilque 

 i'équation ( 4 ) du J." 2^ repréfente toutes les relations 

 poffibles entre p, ej Si y , on peut demander quelle doit être 

 la valeur de y pour que 4/1' -+- T.yq' r= o. On a pour 



condition ^y (^y 3/'/ :=: o ; d'où l'on tire_y :=i o, & 



ij,_y 3jD rrr o. La condition de j z:^ o appartient bien 



au partage de l'état réel de deux des racines de l'équation à 

 l'imaginaire. En effet, dans l'équation (i) du §• -2^» fi l'on 



fuppolè y z:^ o, on aura a zzz dt T/ , valeur qui, 



(S- 2 i) convient au point de partage àss racines réelles aux 

 racines imaginaires; mais certainement, il n'en efl pas de 



même de la valeur de y rzz: . En effet, fi dans l'équation 



( I ) du J. J2^ l'on fubflitue -^ à^y, on aura 3 a ~\- — ^ o ; 



d'où l'on tire a rm zàz. 1/ • Cette valeur de a fubrtituée 



dans féquation (i3) du §. ly, la réduit à b r:z: zt — ^ — , 



valeur imaginaire lorfque^ eft négatif, ainfi qu'on le fuppofê 

 dans la quertion prélènte , & qui ne peut convenir au partage 

 de l'état réel àç.s valeurs de ^ , à l'état imaginaire , & pac 

 conféquent au palfage des racines imaginaires de l'équation. 

 aux racines réelles, 



(28.) Voici, ce me fèmble, l'explication très-naturdfe- 

 de ce paradoxe. Soient \ , X' , A" les trois racines 

 de l'équation du troifième degré, que j'ai fuppofées r^pré- 

 fentées généralement par x — a — h V — i =^ o. 

 La réfultante (^) du J". jy, d'où l'on déduit la valeur 



